Question

Катети прямокутного трикутника відносяться як 3 : 4, а висота ділить гіпотенузу на відрізки, різниця між якими14 см. Знайдіть площу трикутника.

Answer 1

Я решила так.
Гипотенуза содержит $\sqrt{9+16}=5$ частей,  высота делит ее на отрезки n и  m, так что  $m-n=14; m=n+14$
Тогда  $n= \frac{n}{n+m} }*5= \frac{5n}{2n+14}$ части, 
$m= \frac{5m}{n+m}= \frac{5(n+14)}{2n+14}$ части
Выразим высоту из двух прямоугольных треугольников в частях
$h^{2}=9- \frac{25 n^{2} }{(2n+14) ^{2} }=16- \frac{25(n+14) ^{2} }{(2n+14) ^{2} }$  Отсюда
$25( \frac{(n+14) ^{2} }{(2n+14) ^{2} }- \frac{ n^{2} }{(2n+14) ^{2} } )=7$
$25((n+14) ^{2}- n^{2} )=7(2n+14) ^{2}$
$25(28n+196)=7(4 n^{2}+56n+196 )$
$25*28(n+7)=28( n^{2}+14n+49 )$
$25n+175= n^{2}+14n+49$
$n^{2}-11n-126=0; D=625; n=-7$
$n=18; m=32$; Гипотенуза равна 50 см
1 часть = 10 см, катеты 3*10=30см  и 4*10=40 см
Площадь равна $S= \frac{1}{2}*30*40=600$ кв см

Answer 2

Дано, що катети прямокутного трикутника відносяться як 3:4, і висота ділить гіпотенузу на відрізки, різниця між якими становить 14 см. Ми хочемо знайти площу цього трикутника.

Для початку, нам потрібно знайти довжину катетів і гіпотенузи.

Позначимо довжину одного катета як 3x, а іншого катета як 4x (де x - це загальний множник). Тоді гіпотенуза буде 5x, оскільки за теоремою Піфагора в прямокутному трикутнику квадрат гіпотенузи дорівнює сумі квадратів катетів.

За формулою Піфагора, ми можемо записати: (3x)^2 + (4x)^2 = (5x)^2

Розкривши дужки і скоротивши подібні доданки, отримаємо: 9x^2 + 16x^2 = 25x^2

Зведення подібних доданків дає: 25x^2 = 25x^2

Отже, ця рівність виконується для будь-якого значення x. Це означає, що довжини катетів та гіпотенузи можуть бути будь-якими числами, які задовольняють умову відношення 3:4.

Тепер, знаючи довжину катета і гіпотенузи, ми можемо знайти площу трикутника. Площа прямокутного трикутника може бути знайдена за формулою: Площа = (перший катет) * (другий катет) / 2

У нашому випадку, перший катет дорівнює 3x, а другий катет дорівнює 4x. Тому площа трикутника буде: Площа = (3x) * (4x) / 2 = 12x^2 / 2 = 6x^2

Отже, площа трикутника дорівнює 6x^2.

Однак, умова задачі дає нам ще одну інформацію: висота ділить гіпотенузу на відрізки, різниця між якими становить 14 см. Це означає, що ми можемо записати рівняння: 5x - 3x = 14

Розкривши дужки і спрощуючи, отримаємо: 2x = 14

Розділимо обидві частини на 2, щоб знайти значення x: x = 7

Тепер, замість x виразу 6x^2, ми можемо підставити 7: Площа = 6 * (7)^2 = 6 * 49 = 294

Отже, площа трикутника дорівнює 294 квадратним сантиметрам.