Question

Секущая плоскость, перпендикулярная оси цилиндра, делит его на два цилиндра, образующие которых относится как 1:4. Найдите отношение объема меньшего цилиндра к объему исходного цилиндра.

Answer 1

Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту. Высота цилиндра равна ее образующей. Отношение объемов меньшего и большего цилиндров равно отношению высот, то есть, 1:4. А нам в задаче требуется найти отношение объема меньшего цилиндра к объему исходного, высота которого составляет 5 частей. Поэтому искомое отношение будет 1:5

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать формулу для объема цилиндра и свойства подобных фигур.

Формула для объема цилиндра:

Объем \( V \) цилиндра радиуса \( r \) и высоты \( h \) вычисляется по формуле: \[ V = \pi r^2 h \]

Разделение цилиндра плоскостью:

Поскольку секущая плоскость, перпендикулярная оси цилиндра, делит его на два цилиндра в отношении 1:4, мы можем предположить, что радиусы \( r_1 \) и \( r_2 \) новых цилиндров связаны следующим образом: \[ r_1 : r_2 = 1 : 2 \]

Нахождение отношения объемов:

Теперь мы можем использовать формулу для объема цилиндра, чтобы найти отношение объемов двух цилиндров.

Пусть \( V_1 \) и \( V_2 \) будут объемами меньшего и исходного цилиндров соответственно.

Используя формулу объема цилиндра, мы можем записать: \[ V_1 = \pi (r_1)^2 h \] \[ V_2 = \pi (r_2)^2 h \]

Подставляя соотношение \( r_1 : r_2 = 1 : 2 \), получаем: \[ V_1 = \pi (\frac{1}{2} r_2)^2 h = \frac{\pi}{4} r_2^2 h \]

Теперь можем найти отношение объемов: \[ \frac{V_1}{V_2} = \frac{\frac{\pi}{4} r_2^2 h}{\pi r_2^2 h} = \frac{1}{4} \]

Таким образом, отношение объема меньшего цилиндра к объему исходного цилиндра составляет 1:4.