Question

В прямоугольную трапецию АВСD с углом А, равным 2arccos (15/17) вписана окружность. Вторая окружность с радиусом 10,8 касается сторон АВ и АD трапеции и вписанной в нее окружности.Найдите площадь трапеции ABCD.

Answer 1

Рисовать я не буду, но обозначения все напишу. 
Прямоугольная трапеция ABCD, CD перпендикулярно AD и BC; 
∠BAD = 2*arccos(15/17); 
В трапецию вписана окружность радиуса R с центром в точке O. Она касается AD в точке M, AB в точке M1, и BC в точке K
Окружность радиуса r = 10,8 с центром O1 вписана в криволинейный треугольник MAM1 и касается окружности O внешним образом.
Я обозначу ∠OAM = α; тогда cos(α) = 15/17; sin(α) = 8/17;
Пусть AO = L; тогда
R = L*sin(α);
r = AO1*sin(α) = (L - R - r)*sin(α) = R - (R + r)*sin(α);
r*(1 + sin(α)) = R*(1 - sin(α)); 
R = r*(1 + sin(α))/(1 - sin(α));
легко сосчитать, что R = (54/5)*(1 + 8/17)/(1 - 8/17) = 30;
Треугольники BOK и AOM подобны между собой, и Пифагорову треугольнику (8, 15, 17), то есть BK = 16; AM = 225/4 = 56,25;
Ну, найдены все основания и высота, остается только сосчитать.
BC = 46; AD = 86,25; MK = 60; S = (46 + 86,25)*60/2 = 3967,5;

Answer 2

Пусть точка O - центр вписанной окружности, а точка I - центр второй окружности.

Так как вторая окружность касается сторон AB и AD трапеции ABCD, то OI является высотой трапеции. Пусть OI = h.

Также, так как вторая окружность касается вписанной окружности, то радиус второй окружности (10,8) равен сумме радиуса вписанной окружности и расстояния от центра вписанной окружности до точки касания второй окружности с AD. Пусть расстояние от O до AD равно x.

Тогда, по теореме Пифагора в треугольнике OIA:

IA^2 = IO^2 + OA^2 (10,8)^2 = (h + x)^2 + (h - x)^2 116,64 = 2h^2