Question

Секущие AC и BC пересекают окружность с диаметром AB в точках D и E соответственно. Хорды BD и AE пересекаются в точке F . Докажите, что прямая CF перпендикулярна AB .

Answer 1

Вписанные ∠ADB и  ∠AEB  опираются на диаметр, т.е. на хорду, стягивающую дугу 180°, ⇒ они равны половине градусной меры дуги, т.е. они прямые и, будучи перпендикулярны сторонам АС и ВС треугольника АВС, являются его высотами. 

Высоты треугольника пересекаются в одной точке.  

Прямая СF пересекает АВ в точке Н, проходит через точку пересечения высот ∆ АВС и также является его высотой. 

СН ⊥ АВ, и прямая СF, содержащая CН, ⊥АВ

Answer 2

Для доказательства перпендикулярности прямой CF к отрезку AB воспользуемся свойством ортогональности хорд окружности.

Из условия задачи известно, что секущие AC и BC пересекают окружность с диаметром AB в точках D и E соответственно. Также известно, что хорды BD и AE пересекаются в точке F.

Для начала заметим, что хорды BD и AE являются альтернативными хордами, так как пересекаются внутри окружности и не проходят через ее центр. Следовательно, они имеют одинаковую длину: |BD| = |AE|.

Также из свойств окружности известно, что хорда, проходящая через центр окружности, является диаметром, и наоборот, диаметр является хордой, проходящей через центр. Следовательно, отрезок AB является диаметром окружности.

Из свойства ортогональности хорд окружности следует, что если две хорды пересекаются внутри окружности, то их перпендикулярные биссектрисы пересекаются в центре окружности. В нашем случае перпендикулярные биссектрисы хорд BD и AE пересекаются в точке C, которая является центром окружности.

Таким образом, мы получаем, что точка C является центром окружности, а прямая CF является биссектрисой угла BCA. Но так как отрезок AB является диаметром окружности, то угол BCA является прямым углом.

Из этого следует, что прямая CF перпендикулярна отрезку AB.

Таким образом, мы доказали, что прямая CF перпендикулярна отрезку AB.