Question

На диаметре аб отмечена точка С. Хорды BD и BE пересекают окружность с диаметром BC в точках P и Q соотвественно. Докажите что угол BED равен углу BQP и угол BDE равен углу BPQ

Answer 1

Если обозначить радиус большой окружности R, радиус маленькой r, то BP=2r·cos∠ABD, BD=2R·cos∠ABD. Значит BP/BD=r/R. Аналогично, BQ=2r·cos∠ABE, BE=2R·cos∠ABE. Значит BQ/BE=r/R, т.е. BP/BD=BQ/BE. Т.е.треугольники PBQ и DBE подобны по углу и двум прилажащим пропорциональным сторонам. Значит их соответствующие углы равны, т.е. ∠BED=∠BQP и ∠BDE=∠BPQ.

Answer 2

Для доказательства равенства углов BED и BQP, а также углов BDE и BPQ, воспользуемся свойствами окружности и хорд.

Известно, что угол между хордой и диаметром, проведенным к этой хорде, равен половине угла, стираемого этой хордой в окружности.

Таким образом, угол BED равен половине угла BCD, а угол BQP равен половине угла BCQ.

Также известно, что хорды, пересекающиеся внутри окружности, делятся на равные сегменты.

Следовательно, хорда BD делит окружность на два равных сегмента: BP и PD. Аналогично, хорда BE делит окружность на два равных сегмента: BQ и QE.

Таким образом, угол BDE равен углу BPD, а угол BPQ равен углу BQE.

Из равенства углов BED и BPD следует, что угол BED равен углу BPD.

Из равенства углов BDE и BQE следует, что угол BDE равен углу BQE.

Таким образом, мы доказали, что угол BED равен углу BQP и угол BDE равен углу BPQ.