Question

В равнобедренном треугольнике угол при вершине содержит 36 гр. , а биссектриса угла при основании равна √20. Найти длины сторон треугольника.

Answer 1

Углы при основании 72°. То есть биссектриса "отрезает" от треугольника равнобедренный треугольник, углы при основании которого равны 36°. 
Далее, внешний угол при вершине ЭТОГО (отрезанного) треугольника равен 2*36° = 72°, то есть второй треугольник тоже равнобедренный. То есть биссектриса угла при основании делит треугольник на два равнобедренных треугольника. 
Если обозначить длину биссектрисы L, основание a, боковую сторону b, и отрезок от вершины (противоположной основанию) до конца биссектрисы x, то получается
x = L = a; (одна из сторон уже найдена, основание a = L = √20)
По свойству биссектрисы 
b/a = x/(b - x); то есть b/a = a/(b - a); или (b/a - 1)*(b/a) = 1;
(b/a)^2 - (b/a) - 1 = 0; 
b/a = (√5 + 1)/2; 
если подставить a = 2√5; получится
b = 5 + √5;

Answer 2

Дано: - Угол при вершине равнобедренного треугольника: 36 градусов - Биссектриса угла при основании: √20

Мы можем воспользоваться свойствами равнобедренного треугольника, чтобы найти длины сторон.

Нахождение длины биссектрисы

Для начала, мы можем использовать формулу для длины биссектрисы в равнобедренном треугольнике:

Длина биссектрисы = (2 * a * b * cos(θ/2)) / (a + b)

Где: - a и b - длины сторон основания равнобедренного треугольника - θ - угол при вершине равнобедренного треугольника

В нашем случае, мы знаем, что угол при вершине равен 36 градусов, и биссектриса равна √20. Мы также знаем, что две стороны основания равны между собой. Пусть длина основания будет обозначена как "b".

Таким образом, мы можем записать уравнение:

√20 = (2 * b * b * cos(36/2)) / (b + b)

Решение уравнения

Давайте решим это уравнение для нахождения значения переменной "b".

Упростим уравнение:

√20 = (2 * b^2 * cos(18)) / (2b)

Умножим обе стороны на 2b:

2b * √20 = 2 * b^2 * cos(18)

Сократим 2 с обеих сторон:

b * √20 = b^2 * cos(18)

Разделим обе стороны на b:

√20 = b * cos(18)

Теперь, найдем значение b, используя тригонометрическую функцию косинуса:

b = √20 / cos(18)

Определим значение b:

b ≈ 4.876

Нахождение длины сторон

Теперь, когда мы знаем длину одной стороны основания, мы можем найти длины оставшихся двух сторон равнобедренного треугольника.

Для равнобедренного треугольника с длиной стороны a и длиной стороны b, длина стороны c может быть найдена с использованием теоремы Пифагора:

c^2 = a^2 + b^2

В нашем случае, мы знаем длину стороны b (полученную ранее) и угол при вершине (36 градусов), поэтому мы можем найти длину стороны a.

a = b = 4.876

Теперь мы можем найти длину стороны c:

c^2 = a^2 + b^2 c^2 = (4.876)^2 + (4.876)^2 c^2 ≈ 47.52 c ≈ √47.52 c ≈ 6.896

Таким образом, длины сторон треугольника примерно равны: Сторона a ≈ 4.876 Сторона b ≈ 4.876 Сторона c ≈ 6.896