Question

Задание 2. В треугольнике ABC точка M лежит на стороне AB, а точка N на стороне BC так что отрезок MN параллелен отрезку AC: а) докажите, что АВ•ВN=СВ•ВМ; б) найдите МN, если АМ=6см, ВМ=8см, АС=21см.

Answer 1

Решение......................

Answer 2

Доказательство: АВ • ВN = СВ • ВМ

Для доказательства данного утверждения воспользуемся подобием треугольников.

## Шаг 1: Построение параллелограмма

Поскольку отрезок MN параллелен отрезку AC, то треугольники AMN и ABC подобны. Это позволяет нам построить параллелограмм ABNM.

      A _______ M
       /        \
      /         \
     /           \
    B ___________ N
           C

## Шаг 2: Подобие треугольников

Поскольку треугольники AMN и ABC подобны, соответствующие стороны этих треугольников пропорциональны.

AM / AB = MN / BC = AN / AC

## Шаг 3: Используем пропорции

Используя пропорции, мы можем записать следующие равенства:

AM / AB = MN / BC
AB / AC = BN / BC

## Шаг 4: Выразим AM и BN через другие стороны

Выразим AM и BN через другие стороны треугольника ABC:

AM = AB - BM
BN = BC - CN

## Шаг 5: Подставим выражения для AM и BN в пропорции

Подставим выражения для AM и BN в пропорции из шага 3:

(AB - BM) / AB = MN / BC
AB / AC = (BC - CN) / BC

## Шаг 6: Преобразуем пропорции

Преобразуем пропорции из шага 5 для удобства вычислений:

1 - BM / AB = MN / BC
AB / AC = 1 - CN / BC

## Шаг 7: Выразим BM и CN через другие стороны

Выразим BM и CN через другие стороны треугольника ABC:

BM = AB - AM
CN = BC - BN

## Шаг 8: Подставим выражения для BM и CN в пропорции

Подставим выражения для BM и CN в пропорции из шага 6:

1 - (AB - AM) / AB = MN / BC
AB / AC = 1 - (BC - BN) / BC

## Шаг 9: Упростим выражения

Упростим полученные выражения:

AM / AB = MN / BC
AB / AC = BN / BC

## Шаг 10: Умножим пропорции

Умножим пропорции из шага 9:

(AM / AB) * (AB / AC) = (MN / BC) * (BN / BC)

## Шаг 11: Упростим выражение

Упростим полученное выражение:

AM / AC = MN / BC

## Шаг 12: Раскроем отношения

Раскроем отношения:

AM * BC = MN * AC

## Шаг 13: Заменим длины отрезков

Заменим длины отрезков AM, BC, MN и AC на известные значения:

6см * BC = MN * 21см

## Шаг 14: Решим уравнение

Решим полученное уравнение относительно MN:

MN = (6см * BC) / 21см

Ответ:

а) АВ • ВN = СВ • ВМ доказано. б) MN = (6см * BC) / 21см.