Question

Помогите срочно пожалуйста !!!! Диагонали параллелограмма abcd пересекаются в точке О.Докажите что сумма площадей треугольников aob и cod равна сумме площадей треугольников aod и boc. Помогите!!!!!

Answer 1

Дан параллелограмм АВСD.  ВD и АС - диагонали. Точка пересечения диагоналей делит их пополам. Обозначим АО=ОС=п, ВО=ОD=m. Площади треугольников можно вычислить по формуле  S=1/2ab*sinα  (половина произведения сторон на синус угла между ними). Тогда :  
S(АОВ)=1/2mn*sinα  S(COD)=1/2mn*sinα
S(AOD)=1/2mn*sinβ   S(BOC)=1/2mn*sinβ
Так как синусы углов α и β равны, то получим
S(AOB)+S(COD)=1/2mn*sinα+1/2mn*sinα=mn*sinα
S(AOD)+S(BOC)=1/2mn*sinα+1/2mn*sinα=mn*sinα
Получили, что суммы площадей указанных треугольников равны
mn*sinα=mn*sinα

Answer 2

Для доказательства данного утверждения воспользуемся свойством параллелограмма, что диагонали делят его на два равных по площади треугольника.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники AOB и COD. Они оба имеют общую сторону AO и общую высоту, опущенную из точки O. Следовательно, их площади равны половине произведения длины общей стороны на длину высоты, то есть S(AOB) = (1/2) * AO * h1 и S(COD) = (1/2) * AO * h2, где h1 и h2 - высоты треугольников AOB и COD соответственно.

2. Рассмотрим треугольники AOD и BOC. Они также имеют общую сторону AO и общую высоту, опущенную из точки O. Следовательно, их площади равны половине произведения длины общей стороны на длину высоты, то есть S(AOD) = (1/2) * AO * h3 и S(BOC) = (1/2) * AO * h4, где h3 и h4 - высоты треугольников AOD и BOC соответственно.

3. Заметим, что h1 = h3 и h2 = h4, так как это высоты, опущенные из одной и той же точки O на параллельные стороны параллелограмма.

4. Таким образом, сумма площадей треугольников AOB и COD равна (1/2) * AO * h1 + (1/2) * AO * h2 = (1/2) * AO * (h1 + h2), а сумма площадей треугольников AOD и BOC равна (1/2) * AO * h3 + (1/2) * AO * h4 = (1/2) * AO * (h3 + h4).

5. Из пункта 3 следует, что h1 + h2 = h3 + h4, поэтому (1/2) * AO * (h1 + h2) = (1/2) * AO * (h3 + h4).

6. Таким образом, сумма площадей треугольников AOB и COD равна сумме площадей треугольников AOD и BOC.

Ответ:

Сумма площадей треугольников AOB и COD равна сумме площадей треугольников AOD и BOC.