Question

Боковые стороны АВ и СD трапеции АВСD равны соответственно 12 и 13, а основание ВС равно 4. Биссектриса угла АDC проходит через середину стороны АВ. Найдите площадь трапеции

Answer 1

1) Проведём отрезок FE параллельно основаниям трапеции ( FE || BC || AD ), тогда
BF = AF , FE || BC || AD →
FE – средняя линия трапеции, CE = ED

угол EFD = угол ADF – как накрест лежащие углы при параллельных прямых FE и AD и секущей FD
По условию угол EDF = угол ADF
Значит, угол EFD = угол EDF →
∆ FED – равнобедренный,
FE = ED = 1/2 × CD = 1/2 × 13 = 6,5

Средняя линия трапеции вычисляется по формуле:

EF = 1/2 × ( BC + AD )

6,5 = 1/2 × ( 4 + AD )
13 = 4 + AD
AD = 9

2) Теперь проведём BK || CD →
четырёхугольник BCDK – параллелограмм ( BK || CD , BC || KD )
По свойству параллелограмма
ВС = KD = 4 , BK = CD = 13 → AK = AD – KD = 9 - 4 = 5

Рассмотрим ∆ ВАК:
АВ = 12 , АК = 5 , ВК = 13

Применим к этому треугольнику теорему Пифагора:
ВК² = АВ² + АК²
13² = 12² + 5²
169 = 144 + 25
169 = 169

Значит, по теореме, обратной теореме Пифагора получаем, что
∆ ВАК – прямоугольный, угол ВАК = 90°
Из этого следует, что отрезок АВ совпадает с высотой ВН трапеции , АВ = ВН = 12

Следовательно, трапеция АВСD прямоугольная с прямым углом А

Площадь трапеции вычисляется по формуле:
S = 1/2 × ( a + b ) × h
где а, b – основания трапеции, h – высота трапеции

S abcd = 1/2 × ( ВС + AD ) × АВ = EF × AB = 6,5 × 12 = 78

ОТВЕТ: 78