Question

В правильной треугольной пирамиде SABC медианы основания пересекаются в точке О. Объем пирамиды равен 54, OS=6. Найдите площадь треугольника АВС.

Answer 1

По формуле объем треугольной пирамиды
V=1/3* Sосн* OS
54=1/3* Sосн* 6
Sосн= 54*3/6
Sосн= 27

Answer 2

Площадь треугольника АВС в правильной треугольной пирамиде может быть найдена по формуле:

S = (4 * V) / h,

где V - объем пирамиды, h - высота пирамиды.

Значение объема уже дано: V = 54. Нам также известно, что os = 6, где o - центр масс треугольника АВС, s - центр основания треугольной пирамиды.

Центр масс треугольника является точкой пересечения медиан треугольника. В случае правильной треугольной пирамиды, все медианы равны и пересекаются в одной точке.

Таким образом, о = s = О.

Так как О является центром масс, то Оs являются медианами треугольника АВС и пересекаются в точке О.

Возьмем одну из медиан (например, ОА) и обозначим ее длину как х. Так как медианы пересекаются в точке О и делятся в отношении 2:1, то отрезки ОА и Оs делятся в таком же отношении, то есть ОА = 2 * Оs = 2 * 6 = 12.

Так как треугольник АВС является правильным, каждая из его сторон равна 12.

Найдем высоту пирамиды h, используя теорему Пифагора:

(AB)^2 = (AO)^2 + (ОВ)^2.

Так как треугольник АВО - прямоугольный, применяя теорему Пифагора, получаем:

12^2 = х^2 + (12/2)^2,

144 = х^2 + 36,

х^2 = 144 - 36 = 108,

х = √108 = 6√3.

Теперь, используя формулу для площади треугольника, получаем:

S = (4 * 54) / (6√3) = 72 / √3 = (72 * √3) / 3 = 24√3.

Таким образом, площадь треугольника АВС равна 24√3.