Question

В тупоугольном треугольнике ABC AC=BC=25, высота AH равна 20. Найдите cos ACB

Answer 1

В тупоугольном треугольнике высота, проведенная из вершины острого угла, лежит вне треугольника.

ΔАНС: ∠АНС = 90°,

             sin∠ACH = AH/AC = 20/25 = 4/5 = 0,8

Синусы смежных углов равны, тогда

sin∠ACB = sin∠ACH = 0,8

Основное тригонометрическое тождество:

sin²α + cos²α = 1

sin²∠ACB + cos²∠ACB = 1

cos²∠ACB = 1 - sin²∠ACB = 1 - 0,8² = 1 - 0,64 = 0,36

Косинус тупого угла отрицательный, значит

cos∠ACB = - √0,36 = - 0,6

Answer 2

Вот подробное решение задачи:

В тупоугольном треугольнике ABC, AC = BC = 25, высота AH равна 20. Найдите cos ACB.

Решение:

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике AHC:

AC^2 = AH^2 + HC^2

25^2 = 20^2 + HC^2

HC^2 = 25^2 - 20^2

HC^2 = 225

HC = 15

Так как AC = BC, то треугольник ABC равнобедренный и углы A и B равны.

По теореме косинусов в треугольнике ABC:

AB^2 = AC^2 + BC^2 - 2 * AC * BC * cos ACB

AB^2 = 25^2 + 25^2 - 2 * 25 * 25 * cos ACB

AB^2 = 1250 - 1250 * cos ACB

cos ACB = 1 - AB^2 / 1250

По теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике ABH:

AB^2 = AH^2 + BH^2

AB^2 = 20^2 + (HC + CH)^2

AB^2 = 20^2 + (15 + 15)^2

AB^2 = 400 + 900

AB^2 = 1300

Подставляем значение AB^2 в формулу для cos ACB:

cos ACB = 1 - 1300 / 1250

cos ACB = 1 - 1.04

cos ACB = -0.04

Ответ: cos ACB = -0.04