Question

В прямоугольной трапеции ABCD (угол BAD=90) с основаниями AD=24 и BC=16 диагонали пересекаются в точке M, AB=10. а) докажите, что треугольники BMC и DAM подобны. б) Найдите периметр треугольника ADM

Answer 1

∠CBD=∠BDA- внутренние накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей BD
∠BCA=∠CAD- внутренние накрест лежащие при параллельных BC и AD и секущей AC

Треугольники BMC и DAM подобны по двум углам

По теореме Пифагора
АС²=10²+16²=100+256=356
АС=2√89

По теореме Пифагора
BD²=AB²+AD²=10²+24²=100+576=676
BD=26

Из подобия треугольников BMC и DAM  следует пропорциональность сторон
BM: MD=BC:AD
BM:(26-BM)=16:24  
16·(26-BM)=24BM
40BM=416
BM=10,4
MD=26-10,4=15,6

CM: MA=BC:AD
CM:(2√89 - CM)=16:24  
16·(2√89 - CM)=24·CM
40·CM=32·√89
CM=0,4·√89
MA=√89  -  0,4·√89  = 0,6·√89

Р(Δ MAD)=MA+AD+DM=0,6√89+24+15,6=39,6+0,6·√89=0,6·(66+√89)=

$= \frac{3(66+ \sqrt{89})}{5}$

Answer 2

Давайте разберемся с каждой частью задачи.

а) Для доказательства подобия треугольников BMC и DAM, мы можем воспользоваться угловой теоремой и теоремой об углах, образованных пересекающимися хордами.

У нас есть прямоугольная трапеция ABCD, где угол BAD равен 90 градусов. Также известно, что AB = 10, AD = 24 и BC = 16.

1. Докажем, что треугольники BMC и DAM прямоугольные: - В треугольнике BMC рассмотрим угол BMC. Этот угол состоит из двух углов: угла BMA и угла AMC. - Угол BMA — это угол внутри полукруга, образованный хордой BM и диаметром AC. Такой угол всегда прямой (90 градусов). - Угол AMC — это угол внутри треугольника AMC. - Аналогично, у треугольника DAM угол в вершине D — прямой угол, и угол DAB также прямой. - Таким образом, треугольники BMC и DAM прямоугольные.

2. Докажем, что углы B и D равны: - У нас есть трапеция ABCD с прямым углом в вершине A. - Угол B равен углу внутри треугольника ABD, и угол D равен углу внутри треугольника BCD. - Таким образом, углы B и D равны.

3. Докажем, что углы MBC и MAD тоже равны: - В трапеции ABCD угол B равен углу D, и угол BMC равен углу DAM (как углы, образованные хордами). - Углы B и D равны, следовательно, и углы MBC и MAD равны.

Таким образом, треугольники BMC и DAM прямоугольные и имеют равные углы, что означает их подобие.

б) Теперь найдем периметр треугольника ADM. Так как мы знаем стороны треугольника AD и AM, нам нужно найти сторону DM.

Из теоремы Пифагора в прямоугольном треугольнике DAM (треугольнике ADM) мы можем использовать следующее соотношение:

\[ DM = \sqrt{AD^2 - AM^2} \]

Подставим известные значения:

\[ DM = \sqrt{24^2 - 10^2} = \sqrt{576 - 100} = \sqrt{476} \]

Теперь мы можем найти периметр треугольника ADM:

\[ P_{ADM} = AD + DM + AM = 24 + \sqrt{476} + 10 \]

Это и есть итоговый ответ.