Question

Углы треугольника составляют арифметическую прогрессию .Найдите наибольший угол треугольника ,если его наименьший угол равен 20 градусов

Answer 1

Допустим угол А = 20 градусов

Н-ный элемент арифметической прогрессии можно найти по формуле:

a(n) = a(1) + d*( n - 1) , тогда 

первый элемент прогрессии равен а(1) = 20

второй элемент прогрессии равен а(2) = 20 + d

третий элемент прогрессии равен а(3) = 20 + 2*dСумма трёх первых элементов прогрессии равна: S(n) = n*( 2a(1) + d*(n -1)) / 2 = 3 * ( a(1) + d ) = 3 * ( 20 + d )Сумма углов треугольника равнв 180 градусов, а значит S(3) = 3 * ( 20 + d ) = 180следовательно d = 40 , а значит второй и третий углы треугольника равны соответственно:а(2) = 20 + d = 20 + 40 = 60а(3) = 20 + 2*d = 20 + 2 * 40 = 100

Answer 2

Давайте обозначим углы треугольника как \(a\), \(b\) и \(c\), где \(a\) — наименьший угол, \(b\) — средний угол, и \(c\) — наибольший угол.

Согласно условию, углы треугольника составляют арифметическую прогрессию. То есть, можно записать:

\[ b = a + d \] \[ c = a + 2d \]

где \(d\) — шаг арифметической прогрессии.

Известно, что наименьший угол равен 20 градусам:

\[ a = 20 \]

Теперь мы можем выразить \(b\) и \(c\) через \(a\) и \(d\):

\[ b = 20 + d \] \[ c = 20 + 2d \]

Также известно, что сумма углов треугольника равна 180 градусам:

\[ a + b + c = 180 \]

Подставим выражения для \(a\), \(b\) и \(c\):

\[ 20 + (20 + d) + (20 + 2d) = 180 \]

Решив это уравнение, найдем значение \(d\), а затем сможем найти \(c\) (наибольший угол):

\[ 60 + 3d = 180 \]

\[ 3d = 120 \]

\[ d = 40 \]

Теперь, найдем значение \(c\):

\[ c = 20 + 2d = 20 + 2 \times 40 = 100 \]

Таким образом, наибольший угол треугольника равен \(100\) градусам.