Question

Точки (5;2), (2;-3), (2;1) являются серединами сторон треугольника. Найдите координаты его вершин

Answer 1

Координаты середины отрезка, с концами в точках (х₁; у₁) и (х₂; у₂) находятся по формулам:

x = (x₁ + x₂)/2         y = (y₁ + y₂) /2

Получаем систему уравнений:

(x₁ + x₂)/2 = 5       | · 2

(x₂ + x₃)/2 = 2       | · 2

(x₁ + x₃)/2 = 2        | · 2

x₁ + x₂ = 10          (1)

x₂ + x₃ = 4           (2)

x₁ + x₃ = 4            (3)

Складываем все три уравнения, получаем:

2x₁  + 2x₂ + 2x₃ = 18        | : 2

x₁  + x₂ + x₃ = 9      

Теперь из полученного уравнения вычитаем каждое уравнение системы:

(1)   x₃ = - 1

(2)  x₁ = 5

(3)  x₂ = 5

Аналогично составляем и решаем вторую систему уравнений:

(y₁ + y₂)/2 = 2       | · 2

(y₂ + y₃)/2 = - 3    | · 2

(y₁ + y₃)/2 = 1        | · 2

y₁ + y₂ = 4          (1)

y₂ + y₃ = - 6       (2)

y₁ + y₃ = 2            (3)

Складываем все три уравнения, получаем:

2y₁  + 2y₂ + 2y₃ = 0        | : 2

y₁  + y₂ + y₃ = 0      

Теперь из полученного уравнения вычитаем каждое уравнение системы:

(1)   y₃ = - 4

(2)  y₁ = 6

(3)  y₂ = - 2

Координаты вершин:

(5 ; 6)       (5 ; - 2)        (- 1 ; - 4)

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем использовать свойство серединных точек сторон треугольника. Если точка (x, y) является серединой отрезка, соединяющего две вершины треугольника, то сумма координат этой точки и вершины будет в два раза больше, чем координаты другой вершины.

Мы знаем, что точка (5, 2) является серединой стороны, соединяющей вершины A и B, точка (2, -3) является серединой стороны, соединяющей вершины B и C, и точка (2, 1) является серединой стороны, соединяющей вершины C и A.

Давайте обозначим координаты вершин треугольника как (x1, y1), (x2, y2) и (x3, y3). Используя свойство серединных точек, мы можем записать следующие уравнения:

(x1 + x2) / 2 = 5 (y1 + y2) / 2 = 2

(x2 + x3) / 2 = 2 (y2 + y3) / 2 = -3

(x3 + x1) / 2 = 2 (y3 + y1) / 2 = 1

Решим эти уравнения для координат вершин треугольника.

Решение:

Начнем с первого уравнения: (x1 + x2) / 2 = 5

Умножим обе части уравнения на 2: x1 + x2 = 10

Теперь, используя третье уравнение: (x2 + x3) / 2 = 2

Умножим обе части уравнения на 2: x2 + x3 = 4

Аналогично, используя пятое уравнение: (x3 + x1) / 2 = 2

Умножим обе части уравнения на 2: x3 + x1 = 4

Теперь мы имеем систему уравнений:

x1 + x2 = 10 x2 + x3 = 4 x3 + x1 = 4

Мы можем решить эту систему уравнений, вычтя второе уравнение из первого и третьего уравнения:

x1 + x2 - (x2 + x3) = 10 - 4 x1 - x3 = 6

x3 + x1 - (x1 + x2) = 4 - 10 x3 - x2 = -6

x3 + x1 - (x3 + x1) = 4 - 4 0 = 0

Таким образом, мы получили два уравнения:

x1 - x3 = 6 x3 - x2 = -6

Решив эти уравнения, мы найдем значения x1, x2 и x3. Затем, используя эти значения, мы можем найти соответствующие значения y1, y2 и y3, используя оставшиеся три уравнения.

Решение этих уравнений будет давать нам координаты вершин треугольника.