Question

В прямоугольном треугольнике высота и медиана, проведенные к гипотенузе, равны 24 см и 25 см. Найдите периметр треугольника.

Answer 1

 

Нарисуем и рассмотрим данный треугольник.

Он прямоугольный.

Медиана прямоугольного треугольника равна половине гипотенузы, следовательно, гипотенуза АВ=2СМ=50 см

Высота СН делит треугольник на два подобных прямоугольных треугольника.

Высота прямоугольного треугольника, проведенная из вершины прямого угла, есть среднее пропорциональное между отрезками, на которые делится гипотенуза этой высотой.

ПУсть отрезок АН = х см, а НВ=50-х
Тогда:
СН²=АН*НВ
24²=х(50-х)
576=50х -х ²
х²-50х+576=0
Решив квадратное уравнение, получим значения
х₁=18
х₂=32
Из прямоугольных треугольников, на которые высота разбила исходный треугольник АВС, найдем длину катетов.

АС²=АН²+СН²
АС²=576+324=900
АС=30 см
ВС²=СН²+НВ²
ВС²=576+1024=1600

ВС=40
Периметр теперь найти не составит труда:
Р=50+40+30=120 см

Answer 2

Давайте обозначим прямоугольный треугольник следующим образом:

- Пусть \(a\) и \(b\) будут катетами треугольника, а \(c\) - гипотенузой. - Пусть \(h\) будет высотой, опущенной из вершины прямого угла к гипотенузе. - Пусть \(m\) будет медианой, проведенной к гипотенузе.

У нас есть две информации:

1. Высота, опущенная из вершины прямого угла к гипотенузе, равна 24 см: \(h = 24\) см. 2. Медиана, проведенная к гипотенузе, равна 25 см: \(m = 25\) см.

Используем известные формулы для вычисления высоты и медианы в прямоугольном треугольнике:

1. Высота \(h\) выражается как \[ h = \frac{ab}{c}, \] где \(a\) и \(b\) - катеты, а \(c\) - гипотенуза.

2. Медиана \(m\) выражается как \[ m = \frac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}. \]

Теперь у нас есть два уравнения с двумя неизвестными (\(a\) и \(b\)).

Первое уравнение: \[ 24 = \frac{ab}{c}. \]

Второе уравнение: \[ 25 = \frac{\sqrt{2a^2 + 2b^2 - c^2}}{2}. \]

Так как мы знаем, что треугольник прямоугольный, мы также можем использовать теорему Пифагора: \[ a^2 + b^2 = c^2. \]

Теперь у нас есть система уравнений, которую мы можем решить. После нахождения \(a\) и \(b\), мы сможем найти периметр треугольника, который выражается как сумма всех его сторон: \[ P = a + b + c. \]

Решение этой системы уравнений может быть сложным без конкретных числовых значений, но вы можете использовать методы алгебры или калькулятор для решения уравнений и нахождения периметра треугольника.