Question

На ребре DA пирамиды ABCD взяты точки K и M, причем AK = BM. Через эти точки проведены сечения, параллельные грани ABC. Известно, что сумма площадей этих сечений составляет 2/3 площади треугольника ABC. Найдите отношение KM :AB

Answer 1

Так как тетраэдр - правильная треугольная пирамида, то в сечении, параллельном основанию ( как и само основание) - правильный (то есть равносторонний) треугольник.
Треугольник в сечении и треугольник основания пирамиды подобны ( это следует из параллельности сечения основанию).
Площади подобных фигур относятся как квадраты сходственных сторон.
В соответствии с заданием сторона треугольника в сечении равна 3/4 от стороны основания.
Тогда S(АВС) = 27*(16/9) = 48 кв.ед.

Answer 2

Дано:

- Ребро DA пирамиды ABCD. - Точки K и M, причем AK = BM. - Сечения, проведенные через точки K и M, параллельные грани ABC. - Сумма площадей этих сечений составляет 2/3 площади треугольника ABC.

Нам нужно найти отношение KM : AB.

Нахождение отношения KM : AB

Пусть точка L - точка пересечения сечений через точки K и M с ребром DA.

Для начала, давайте посмотрим, какие отношения можно найти с использованием данной информации.

Отношение площадей треугольников: ABM : ABC = KM : AB (похожие треугольники ABM и ABC)

Отношение площадей треугольников: KAL : KAB = KL : AB (похожие треугольники KAL и KAB)

Отношение площадей треугольников: KBL : KBA = KL : AB (похожие треугольники KBL и KBA)

Мы знаем, что площади сечений, проведенных через точки K и M, составляют 2/3 площади треугольника ABC:

Площадь KAB + площадь KBA = 2/3 * площадь ABC

Нахождение площадей треугольников KAL и KBL

Сумма площадей треугольников KAL и KBL равна площади треугольника KAB:

площадь KAL + площадь KBL = площадь KAB

Подставление в выражение для площадей сечений

Теперь мы можем подставить найденные площади треугольников KAL и KBL в выражение для площадей сечений:

площадь KAL + площадь KBL = 2/3 * площадь ABC

площадь KAB + площадь KBA = 2/3 * площадь ABC

Подстановка известных отношений

Мы также знаем, что AK = BM. Используя это, мы можем выразить площади треугольников KAB и KBA через отношение KM : AB:

площадь KAB = (KM : AB)^2 * площадь ABC

площадь KBA = (KM : AB)^2 * площадь ABC

Подстановка в выражение для площадей сечений

Теперь мы можем подставить найденные площади треугольников KAB и KBA в выражение для площадей сечений:

(KM : AB)^2 * площадь ABC + (KM : AB)^2 * площадь ABC = 2/3 * площадь ABC

2 * (KM : AB)^2 * площадь ABC = 2/3 * площадь ABC

(KM : AB)^2 = 1/3

KM : AB = √(1/3)

Ответ: Отношение KM : AB равно √(1/3).