Question

Один из катетов прямоугольного треугольника равен 15, а а проекция второго катета на гипотенузу равна 16. Найдите диаметр окружности,описанной около этого треугольника

Answer 1

Диаметр окружности описанной около треугольника - есть гипотенуза этого треугольника. Пусть гипотенуза - х см, тогда проекция катета равного 15 см равна (х-16) см. Катет - есть среднее пропорциональное между гипотенузой и проекцией её на гипотенузу, т.е. 15²=х(х-16)
225=х²-16х, х²-16х-225=0, D/4=64+225=289, √289=17, x₁=8+17=25,  x₂=8-17=-9 - это не удовлетворяет смыслу задачи, значит - гипотенуза равна 25 см  и диаметр окружности 25 см
Ответ: 25 см

Answer 2

Гипотенуза это и есть диаметр.
"а проекция второго катета на гипотенузу равна 16" - то есть мы должны провести высоту HC на гипотенузу AB, и AH=16

треугольники ABC и HBC подобны (по двум углам)
$\frac{BC}{AB} = \frac{HB}{BC}$
пусть HB=x
$\frac{15}{16+x} = \frac{x}{15} \\ x^{2} + 16x = 15^{2} \\ x^{2} + 16x - 15^{2} = 0$
x₁=9 x₂=-25
длина не может быть отрицательным, поэтому будет x=HB=9
диаметр сумме AH и HB
D=AH+HB=16+9=25 см .

Answer 3

Для решения задачи воспользуемся теоремой Пифагора, которая гласит: в прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

Пусть один из катетов равен 15, а проекция второго катета на гипотенузу равна 16. Обозначим второй катет как x.

Используя теорему Пифагора, получаем уравнение: 15^2 + x^2 = (16 + x)^2

Раскроем скобки: 225 + x^2 = 256 + 32x + x^2

Перенесем все члены уравнения в одну сторону: 0 = 256 + 32x - 225

Упростим: 0 = 32x + 31

Решим полученное уравнение: 32x = -31 x = -31/32

Так как длина не может быть отрицательной, отбросим отрицательный корень и получаем, что второй катет равен 31/32.

Теперь найдем длину гипотенузы, используя теорему Пифагора: гипотенуза^2 = 15^2 + (31/32)^2

гипотенуза^2 = 225 + 961/1024

гипотенуза^2 = (225*1024 + 961) / 1024

гипотенуза^2 = 230625 / 1024

гипотенуза = √(230625 / 1024)

Таким образом, длина гипотенузы равна корню из дроби 230625/1024.

Диаметр окружности, описанной около этого треугольника, равен длине гипотенузы, то есть √(230625 / 1024).