Question

Пускай в трапецию ABCD (основы AD и BC) вписана окружность радиуса r. В треугольники ABC и ACD вписаны окружности с радиусами r(abc) и r(acd) соответственно. Известно, что для радиусов выполняется r:r(abc):r(acd)=9:4:6. Найти соотношения между сторонами трапеции.

Answer 1

 Если не ошибаюсь , то решение примерно такое 
Заметим что углы  $\angle BCA= \angle CAD$   как на крест лежащие 
Тогда как  $S_{ABC} + S_{ACD} = S_{ABCD} \\ \angle BCA=y\\ \frac{BC*AC*siny}{2} + \frac{AD*AC*siny}{2} = S_{ABCD}$ 
Обозначим так же радиусы  как $9x;4x;6x$ ,   не обобщая общности , можно взять $9;4;6$ 
Так как в трапеция вписана окружность $AB+CD=BC+AD$                  
$AC*siny(BC+AD) = 18*(BC+AD)\\ AC*siny =18$ 
С другой стороны площади треугольников через радиусы 
$S_{ABC}=(AB+BC+AC)*2 \\ S_{ACD}=(CD+AD+AC)*3$ 
 Откуда 
  $(AB+BC+AC)*2=9BC\\ (CD+AD+AC)*3=9AD$
      $AC=3.5*BC-AB \\ AC=2*AD-CD$ 
 
 Положим что $BC=x; AB=y ; AD=z; CD=n$
  Если выразить углы , из теоремы косинусов , соответственно из тех же треугольников  , получим  
    $cosBCA = \frac{53*x-28*y}{28*x-8*y} \\ cosBCA = \frac{4*n-5*z}{2*n-4*z}$     
    Приравнивая 
  $\frac{53*x-28*y}{28*x-8*y}= \frac{4*n-5*z}{2*n-4*z } \\ x+z= y+n \\, 3.5*x-y=2*z-n$  
  получим 
  $x=\frac{4n}{5}\\ y=\frac{17*n}{15} \\ z=\frac{4n}{3}\\ n \neq 0$ 
 Так как $cosBCA=\frac{4}{5}\\ sinBCA=\frac{3}{5}\\ AC= 18*\frac{5}{3} = 30$ 
 Откуда $n=18$ 
  
 То есть стороны равны  
  $AB=\frac{17*18}{15} = \frac{102}{5} \\ BC=\frac{4*18}{5} = \frac{72}{5}\\ AD=24 \\ CD=18$ 
   
   
 

Answer 2

Решение:

Пусть стороны трапеции ABCD имеют длины AB = a, BC = b, CD = c и AD = d.

Для начала, обозначим центр окружности радиуса r как O, центры вписанных окружностей радиусов r(abc) и r(acd) как O1 и O2 соответственно.

Так как окружность радиуса r вписана в трапецию ABCD, то радиус этой окружности будет перпендикулярен к сторонам трапеции в их средних точках. Таким образом, точка O будет находиться на пересечении диагоналей трапеции ABCD.

Также, так как окружность радиуса r(abc) вписана в треугольник ABC, то радиус этой окружности будет перпендикулярен к сторонам треугольника в их средних точках. Аналогично, окружность радиуса r(acd) будет вписана в треугольник ACD.

Равенство треугольников:

Обозначим точку пересечения диагоналей трапеции ABCD как точку O. Так как радиусы окружностей образуют соотношение r:r(abc):r(acd) = 9:4:6, то отношение сторон треугольников ABC и ACD будет таким же:

AB/AC = BC/CD = 9/6 = 3/2

Таким образом, отношение сторон треугольников ABC и ACD равно 3/2.

Равенство сторон трапеции:

Так как точка O находится на пересечении диагоналей трапеции ABCD, то она является центром вписанной окружности. Таким образом, радиус этой окружности будет равен полусумме оснований трапеции:

r = (AD + BC)/2 = (d + b)/2

Аналогично, радиусы окружностей вписанных в треугольники ABC и ACD будут равны полусуммам соответствующих сторон:

r(abc) = (AB + BC + AC)/2 = (a + b + c)/2 r(acd) = (AC + CD + AD)/2 = (a + c + d)/2

Используя соотношение r:r(abc):r(acd) = 9:4:6, мы можем записать:

r/r(abc) = 9/4 r/r(acd) = 9/6

Подставим значения радиусов:

(d + b)/2 / (a + b + c)/2 = 9/4 (d + b)/2 / (a + c + d)/2 = 9/6

Упростим:

(d + b)/(a + b + c) = 9/4 (d + b)/(a + c + d) = 9/6

Раскроем скобки:

4(d + b) = 9(a + b + c) 6(d + b) = 9(a + c + d)

Упростим:

4d + 4b = 9a + 9b + 9c 6d + 6b = 9a + 9c + 9d

Расставим переменные по сторонам:

9a - 4d - 5b - 9c = 0 9d - 9a - 9c + 6b = 0

Таким образом, мы получили соотношения между сторонами трапеции ABCD:

9a - 4d - 5b - 9c = 0 9d - 9a - 9c + 6b = 0

Ответ:

Соотношения между сторонами трапеции ABCD: 9a - 4d - 5b - 9c = 0 и 9d - 9a - 9c + 6b = 0.