Question

Найти угол треугольника, если расстояние от вершины этого угла до ортоцентра треугольника равна радиусу описаной окружности.

Answer 1

надо же, я с трудом решил :))) побольше бы таких задач :))

Вот удивительно, сам по себе ортоцентр не играет никакой роли в решении. Для начала обратим внимание, что треугольник КРМ ( К, Р и М - середины сторон треугольника АВС) подобен треугольнику АВС. Центр О описанной вокруг АВС окружности лежит на пересечении медиатрис (перпендикуляров к сторонам в их серединах). Это означает, что О - точка пересечения высот треугольника КМР (каждая медиатриса АВС является высотой КМР). Таким образом, ОМ - расстояние от вершины до ортоцентра в треугольнике, у которого все размеры в два раза меньше, чем в АВС (конечно, и угол тот, который надо - угол КМР = угол ВАС).

Таким образом, (фактически по условию, вот оно - решение :)) ОМ = ОС/2. 

Но это сразу означает, что угол МОС = 60 градусов. Поскольку ОВ симметрично ОС относительно ОМ (ну, М - середина ВС, ОМ перпендикулярно ВС), угол ВОМ тоже равен 60 градусов. Итак, угол ВОС = 120 градусов. Это центральный угол дуги ВС, на которую опирается искомый вписанный угол ВАС.

Ответ: угол ВАС = 60 градусов.

 

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобятся знания о свойствах ортоцентра и описанной окружности треугольника.

Ортоцентр треугольника - точка пересечения всех высот треугольника. Расстояние от вершины треугольника до ортоцентра равно радиусу описанной окружности треугольника.

Чтобы найти угол треугольника, если известно, что расстояние от вершины этого угла до ортоцентра треугольника равно радиусу описанной окружности, нам нужно использовать свойство описанной окружности треугольника.

Пусть ABC - треугольник, H - ортоцентр, O - центр описанной окружности, R - радиус описанной окружности. Тогда угол BAC равен удвоенному углу BHC, где BHC - угол, образованный высотами треугольника.

Таким образом, чтобы найти угол треугольника, нам нужно найти угол, образованный высотами треугольника в ортоцентре и удвоить его.

Надеюсь, это поможет вам решить задачу. Если у вас есть дополнительные вопросы, не стесняйтесь задавать.