Question

В четырёхугольнике ABCD проведена диагональ BD. Угол BAD=85°, угол CBD=65°, угол ADB=30°, AB=BC. Найдите градусные меры неизвестных углов четырёхугольника ABCD.

Answer 1

Градусные меры, приведены на рисунке, решение:
1. В красный на рисунке обведены те градусы что не заданы в условии, тогда исходя из условия данных углов, найдем угол DBA:

Получаем, что DBA равен 65 градусов.

2. Треугольник ABD = треугольнику DBC:
1) ВD - общая сторона
2) угол ABD= углу DBC(доказано выше)
3) АВ=ВС (из условия)
Получаем что треугольники равны, по двум сторонам и углу между ними.

3. У равных треугольников соответствующие элементы равны, получаем:
1)Угол BDA= углу BDC = 30 
2) угол DAB = углу BCD = 85

4.Проверим правильно ли мы нашли, сумма углов выпуклого четырехугольника равна 360 градусов:

Что и требовалось доказать.
Ответ: 30, 65, 80 градусов

Answer 2

Для решения данной задачи нам понадобятся знания о свойствах четырехугольников и углах.

Свойства четырехугольников

В четырехугольнике сумма всех внутренних углов равна 360°. Также, если в четырехугольнике две диагонали пересекаются внутри фигуры, то сумма противоположных углов равна 180°.

Решение

Из условия задачи нам дано: * Угол BAD = 85° * Угол CBD = 65° * Угол ADB = 30° * AB = BC

Нам нужно найти градусные меры остальных углов четырехугольника ABCD.

Давайте рассмотрим четырехугольник ABCD:

        A
       / \
      /   \
     /     \
    /       \
   B---------D
      \     /
       \   /
        \ /
         C

Известно, что AB = BC, а углы ADB и BDC являются вертикальными углами (они образуются пересечением прямых). Поэтому, угол BDC также равен 30°.

Так как угол ADB равен 30°, а угол ADB + угол ABD = 180° (сумма противоположных углов), то угол ABD равен 150°.

Теперь, используя свойство суммы углов в четырехугольнике, мы можем найти градусные меры остальных углов:

Угол ABC = 180° - угол ABD - угол CBD = 180° - 150° - 65° = 180° - 215° = -35°

Угол BCD = 180° - угол BDC - угол CBD = 180° - 30° - 65° = 180° - 95° = 85°

Угол CDA = 180° - угол BCD - угол ADB = 180° - 85° - 30° = 180° - 115° = 65°

Ответ

Градусные меры неизвестных углов четырехугольника ABCD: Угол ABC = -35° Угол BCD = 85° Угол CDA = 65°