Question

Докажите, что центры тяжести четырёх треугольников, вершины которых совпадают с тремя вершинами данного четырехугольника, являются вершинами четырехугольника, гомотетичного данному.

Answer 1

Прямо, как мысль катилась :)
Для произвольной точки O и произвольного треугольника ABC с центром тяжести G
OG = (OA + OB  +OC)/3; (жирным обозначены вектора);
Пусть теперь O - центр тяжести всего четырехугольника. Тогда
OD = -(OA + OB + OC) = -3*OG;
Легко видеть, что так же точно OA = -3*OG1; OB = -3*OG2; OC = -3*OG3;
где G1 - центр тяжести CBD, G2 - ACD; G3 - ABD;
То есть многоугольник GG1G2G3 получается из ABCD при пребразовании гомотетии с центром в точке O и коэффициентом k = -1/3;

Answer 2

Центры тяжести треугольников

Центр тяжести треугольника - это точка пересечения медиан треугольника. Медианы треугольника - это отрезки, соединяющие вершины треугольника с серединами противоположных сторон.

Центры тяжести четырехугольника

Центр тяжести четырехугольника - это точка пересечения диагоналей четырехугольника. Диагонали четырехугольника - это отрезки, соединяющие противоположные вершины четырехугольника.

Доказательство

Для доказательства того, что центры тяжести треугольников, вершины которых совпадают с тремя вершинами данного четырехугольника, являются вершинами четырехугольника, гомотетичного данному, рассмотрим следующее:

Пусть дан четырехугольник ABCD и треугольники ABD, BCD, CDA, DAB, вершины которых совпадают с вершинами четырехугольника ABCD.

Так как центр тяжести треугольника - это точка пересечения медиан треугольника, то центры тяжести треугольников ABD, BCD, CDA, DAB будут лежать на медианах треугольника ABCD.

Также, так как центр тяжести четырехугольника - это точка пересечения диагоналей четырехугольника, то центр тяжести четырехугольника ABCD будет лежать на диагоналях четырехугольника ABCD.

Таким образом, центры тяжести треугольников ABD, BCD, CDA, DAB, вершины которых совпадают с вершинами четырехугольника ABCD, будут лежать на медианах треугольника ABCD и на диагоналях четырехугольника ABCD.

Заключение

Таким образом, можно сделать вывод, что центры тяжести треугольников, вершины которых совпадают с тремя вершинами данного четырехугольника, являются вершинами четырехугольника, гомотетичного данному.