Question

Осевое сечение конуса представляет собой равносторонний треугольник со стороной 8 см. Найдите высоту конуса.

Answer 1

Используем формулу высоты правильного треугольника.

Answer 2

Для решения этой задачи нам необходимо знать, что осевое сечение конуса представляет собой равносторонний треугольник. У нас также есть информация о стороне этого треугольника, которая равна 8 см.

Чтобы найти высоту конуса, мы можем использовать связь между радиусом основания конуса (r) и его высотой (h), а именно формулу для площади основания конуса, которая выражается как:

S = (π * r^2) / 2,

где S - площадь основания конуса, π - число пи, r - радиус основания.

Для равностороннего треугольника площадь основания можно выразить через длину стороны треугольника (a) по формуле:

S = (sqrt(3) * a^2) / 4,

где sqrt(3) - квадратный корень из 3.

Поскольку у нас равносторонний треугольник, мы можем приравнять эти две формулы:

(sqrt(3) * a^2) / 4 = (π * r^2) / 2.

Подставляя значение стороны треугольника (a = 8 см), получаем:

(sqrt(3) * 8^2) / 4 = (π * r^2) / 2.

Решая это уравнение относительно высоты конуса (h), мы можем найти искомое значение. Давайте вычислим это:

(sqrt(3) * 64) / 4 = (π * r^2) / 2.

Упрощая выражение:

(8 * sqrt(3)) / 4 = (π * r^2) / 2.

Далее, умножая обе части уравнения на 2, получаем:

(2 * 8 * sqrt(3)) / 4 = π * r^2.

Упрощая:

4 * sqrt(3) = π * r^2.

Теперь давайте решим это уравнение относительно r:

r^2 = (4 * sqrt(3)) / π.

r^2 = (4 * 1.732) / 3.1416.

r^2 ≈ 2.309.

Извлекая квадратный корень из обеих сторон, получаем:

r ≈ sqrt(2.309).

r ≈ 1.52.

Теперь, чтобы найти высоту конуса (h), мы можем использовать теорему Пифагора, так как у нас есть радиус (r) и сторона основания треугольника (a). Теорема Пифагора гласит:

h^2 = a^2 - r^2.

h^2 = 8^2 - (1.52)^2.

h^2 ≈ 64 - 2.3104.

h^2 ≈ 61.6896.

Извлекая квадратный корень из обеих сторон, получаем:

h ≈ sqrt(61.6896).

h ≈ 7.85.

Таким образом, высота конуса составляет примерно 7.85 см.