Question

Докажите что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба

Answer 1

В прямоугольнике все углы прямые, противоположные стороны равны и параллельны, а диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.

Пусть данный прямоугольник АВСD, точки К, М, Н, Т - соответственно середины АВ, ВС, СD, DА. 

Соединим  последовательно точки К,М,Н и Т

Треугольники КАТ, КВМ, МСН  и НDТ прямоугольные, в каждом один катет равен половине меньшей стороны, другой - половине большей стороны. Следовательно, эти треугольники равны, отсюда равны их гипотенузы: КМ=МН=НТ=ТК. 

КМНТ - четырехугольник, все стороны которого равны(признак ромба).

Кроме того:  диагонали  КН║ВС и МТ║АВ.  

В прямоугольнике стороны пересекаются под прямым углом, ⇒ 

параллельные им диагонали ромба КН и МТ тоже пересекаются под прямым углом - признак ромба. 

Четырехугольник КМНТ - ромб, и его вершинами являются середины сторон прямоугольника. 

Answer 2

Для доказательства того, что середины сторон прямоугольника являются вершинами ромба, давайте рассмотрим прямоугольник ABCD. Пусть E, F, G и H - середины сторон AB, BC, CD и DA соответственно.

Для начала заметим, что по определению ромба все его стороны равны между собой. Теперь докажем, что EF = FG = GH = HE.

Рассмотрим треугольники AEF и BEF. Поскольку E - середина стороны AB, то AE = EB. Также, так как у нас прямоугольник, то угол AEB прямой, и значит, треугольники AEF и BEF равны по двум сторонам и общему углу. Значит, AE = EB и EF = EF. Аналогично можно доказать, что FG = GH = HE.

Таким образом, мы доказали, что все стороны ромба, образованного серединами сторон прямоугольника, равны между собой. Следовательно, середины сторон прямоугольника действительно являются вершинами ромба.