Question

Две стороны треугольника равны соответственно 6 и 8. Медианы, проведённые к серединам этих сторон, пересекаются под прямым углом. Найдите третью сторону треугольника.

Answer 1

Сторона соединяющая середины сторон  средняя  линия и равна половине третьей cтороны. Полустороны равны 3 и 4.
По теореме Пифагора:
s1^2+s3^2=3^2
s2^2+s4^2=4^2
s1^2+s2^2=x^2
s3^2+s4^2=4x^2 
То  есть:  3^2+4^2=5x^2=s1^2+s2^2+s3^2+s4^2
25=5x^2
x^2=5
x=√5
То  есть  с=2√5
Ответ:2√5

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится использовать теорему Пифагора и свойства медиан треугольника.

Теорема Пифагора гласит, что в прямоугольном треугольнике квадрат гипотенузы равен сумме квадратов катетов. В данной задаче медианы треугольника пересекаются под прямым углом, что означает, что треугольник является прямоугольным.

Пусть стороны треугольника равны a, b и c, где a = 6 и b = 8. Третья сторона треугольника обозначена как c.

Мы знаем, что медианы треугольника делятся в отношении 2:1. То есть, если точка пересечения медиан обозначена как O, то длина отрезка, соединяющего O с серединой одной из сторон треугольника, составляет 2/3 от длины медианы.

Давайте обозначим точку пересечения медиан как O, а середины сторон треугольника как M и N. Тогда, по свойству медиан треугольника, длина MO будет равна 2/3 от длины медианы, проведенной к стороне длины 6, а длина NO будет равна 2/3 от длины медианы, проведенной к стороне длины 8.

Таким образом, MO = (2/3) * 6 = 4 и NO = (2/3) * 8 = 16/3.

А теперь мы можем использовать теорему Пифагора для нахождения третьей стороны треугольника. В прямоугольном треугольнике MOB, где MB - медиана треугольника, MO - 4 и MB - 6, мы можем найти длину третьей стороны треугольника, обозначим ее как c1:

c1^2 = MO^2 + MB^2 c1^2 = 4^2 + 6^2 c1^2 = 16 + 36 c1^2 = 52

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник NOB, где NB - медиана треугольника, NO - 16/3, NB - 8. Мы можем найти длину третьей стороны треугольника, обозначим ее как c2:

c2^2 = NO^2 + NB^2 c2^2 = (16/3)^2 + 8^2 c2^2 = 256/9 + 64 c2^2 = (256 + 576)/9 c2^2 = 832/9

Таким образом, третья сторона треугольника равна корню из суммы c1^2 и c2^2:

c = sqrt(c1^2 + c2^2) c = sqrt(52 + 832/9) c = sqrt((468 + 832)/9) c = sqrt(1300/9) c = sqrt(144.44) c ≈ 12.02

Таким образом, третья сторона треугольника примерно равна 12.02 (округленно до двух знаков после запятой).