Question

20 баллов!!!!!! сформулируйте и докажите теорему об окружности , описанной около правильного многоугольника

Answer 1

Около правильного многоугольника можно описать единственную окружность.

Доказательство:

А₁А₂А₃... - правильный многоугольник.

Пусть биссектрисы углов А₁ и А₂ пересекаются в точке О.

Так как углы А₁ и А₂ многоугольника равны, то равны и углы 1 и 2.

Тогда ΔА₁ОА₂ - равнобедренный, т.е. точка О равноудалена от вершин А₁ и А₂.

∠3 = ∠2, так как ОА₂ биссектриса, центральные углы правильного многоугольника равны (∠А₁ОА₂ = ∠А₂ОА₃), сторона ОА₂ общая для треугольников А₁ОА₂ и А₂ОА₃, значит треугольники равны по стороне и двум прилежащим к ней углам.

Тогда ОА₃ = ОА₁.

Аналогично можно доказать, что равны и остальные треугольники. Таким образом, точка О равноудалена от всех вершин, значит она - центр описанной окружности.

Эта окружность будет описана и около треугольника, например, А₁А₂А₃, а вокруг треугольника можно описать единственную окружность, значит данная окружность - единственная, которую можно описать около правильного многоугольника.

Answer 2

Теорема об окружности, описанной около правильного многоугольника утверждает, что для любого правильного многоугольника можно построить окружность, которая проходит через все вершины этого многоугольника.

Доказательство:

Предположим, что у нас есть правильный многоугольник с n вершинами. Тогда каждая вершина многоугольника лежит на окружности с центром в какой-то точке O.

Поскольку углы правильного многоугольника равны и все его стороны равны, то можно утверждать, что расстояние от центра окружности до каждой вершины многоугольника одинаково. Поэтому все вершины многоугольника лежат на одной окружности.

Таким образом, мы доказали, что для любого правильного многоугольника можно построить окружность, проходящую через все его вершины.

Таким образом, теорема об окружности, описанной около правильного многоугольника, доказана.