Question

3. Один из острых углов прямоугольного треугольника в два раза меньше другого, а разность гипотенузы и меньшего катета равна 15 см. Найдите гипотенузу и меньший катет.

Answer 1

Сумма углов треугольника = 180, значит углы 30,60 и 90 меньший катет лежит напротив меньшего угла в 30 и равен половине гипотенузы 2а-а= 15а =15(меньший катет)15*2 = 30(гипотенуза)

Answer 2

Обозначим острые углы прямоугольного треугольника как α и 2α (где α - меньший угол). Пусть меньший катет равен x, а гипотенуза равна у.

Тогда, по теореме Пифагора, у^2 = x^2 + (2x)^2 = 5x^2.

Также из условия задачи мы знаем, что у - x = 15.

Теперь мы можем решить систему уравнений:

у - x = 15 у^2 = 5x^2

Решим первое уравнение относительно у: у = x + 15.

Подставим это значение во второе уравнение:

(x + 15)^2 = 5x^2 x^2 + 30x + 225 = 5x^2 4x^2 - 30x - 225 = 0

Теперь решим это квадратное уравнение:

D = (-30)^2 - 4*4*(-225) = 900 + 3600 = 4500

x1,2 = (30 ± √4500) / 8 = (30 ± 67.08) / 8

x1 = (30 + 67.08) / 8 = 97.08 / 8 = 12.135 x2 = (30 - 67.08) / 8 = -37.08 / 8 = -4.635

Так как длина стороны не может быть отрицательной, то x = 12.135.

Теперь найдем у:

у = x + 15 = 12.135 + 15 = 27.135.

Таким образом, гипотенуза треугольника равна 27.135 см, а меньший катет равен 12.135 см.