Question

В прямоугольнике MPKH O - точка пересечения диагоналей. Точки A и B - середины сторон MP и MH соответственно. Точка С делит отрезок MK в отношении 1:7, считая от точки М; АС перпендикулярна к МК. Найдите отношение ВО:РН

Answer 1

Прямоугольник МРКН, МС/СК=1/7=1х/7х, МС=1х, СК=7х, МК=МС+СК=х+7х=8х=РН,, АС перпендикулярна МК, диагонали в прямоугольнике в точке пересечения делятся пополам, МО=РО=КО=НО=МК/2=8х/2=4х, угол ОМВ=а, уголоАМС=90-а, треугольник АСМ прямоугольный, уголМАС=90-уголАМС=90-(90-а)=а, ОВ=АМ, треугольник АМС подобен треугольнику МОВ как прямоугольные по равному острому углу, АМ/МС=МО/ОВ, АМ/х=4х/ОВ(АМ), АМ²=4х², АМ=2х=ОВ, ОВ/РН=2х/8х=1/4

Answer 2

Для решения этой задачи, давайте разберемся сначала с геометрическими свойствами данного прямоугольника.

Диагонали прямоугольника

Диагонали прямоугольника равны и пересекаются в точке O. Обозначим точку пересечения диагоналей как O.

Середины сторон прямоугольника

Точка A является серединой стороны MP, а точка B - серединой стороны MH.

Точка С и отношение MK

Точка C делит отрезок MK в отношении 1:7, считая от точки М. То есть, длина MC составляет 1/8 от длины MK, а длина CK составляет 7/8 от длины MK.

АС перпендикулярна к МК

Отрезок AC является перпендикуляром к МК. Это означает, что угол МАС равен 90 градусам.

Теперь мы можем использовать эти сведения, чтобы найти отношение ВО к РН.

Решение

Для начала, заметим, что треугольники МАС и ОАС подобны, так как угол МАС равен углу ОАС (они оба прямые), а угол МКА равен углу ОАК (они оба прямые). Поэтому отношение длин отрезков ОА и АС равно отношению длин отрезков ОК и КМ.

Так как МАС и ОАС - подобные треугольники, то отношение длин ОА и АС равно отношению длин ОК и КМ:

ОА / АС = ОК / КМ

Также мы знаем, что отношение длин АС и CK равно 1/7:

АС / CK = 1/7

Выразим из второго уравнения длину АС:

АС = (1/7) * CK

Подставим это значение в первое уравнение:

ОА / ((1/7) * CK) = ОК / КМ

Умножим обе части уравнения на CK:

ОА / (1/7) = ОК / КМ * CK

ОА = (ОК / КМ * CK) * (1/7)

Теперь заметим, что треугольники ОАВ и КРН подобны, так как угол ОВА равен углу РНК (они оба прямые), а угол ВАО равен углу NKR (они оба прямые). Поэтому отношение длин отрезков ОА и ВО равно отношению длин отрезков КР и РН.

Так как ОАВ и КРН - подобные треугольники, то отношение длин ОА и ВО равно отношению длин КР и РН:

ОА / ВО = КР / РН

Мы уже выразили длину ОА через другие длины, поэтому можем подставить это значение в уравнение:

((ОК / КМ * CK) * (1/7)) / ВО = КР / РН

Умножим обе части уравнения на ВО:

((ОК / КМ * CK) * (1/7)) = (КР / РН) * ВО

Теперь выразим ВО:

ВО = ((ОК / КМ * CK) * (1/7)) / (КР / РН)

Заметим, что отношение длин КМ и РН равно 8/1 (так как отношение АС и CK равно 1/7, а отношение АС и МК равно 1/8, следовательно отношение КМ и РН равно 8/1).

Подставим это значение в уравнение:

ВО = ((ОК / (8/1) * CK) * (1/7)) / (КР / РН)

Упростим выражение:

ВО = (ОК / 8 * CK) * (1/7) * (РН / КР)

Таким образом, отношение ВО к РН равно:

ВО / РН = (ОК / 8 * CK) * (1/7)

Или можно записать в виде:

Отношение ВО к РН = (ОК / 56) * CK

Обратите внимание, что точки M, P, K, H, O, A, B, C, В и РН даны в задаче, поэтому вы можете использовать данные значения для вычисления итогового отношения ВО к РН.