Question

Найдите радиус окружности, вписанной прямоугольный треугольник, если биссектриса осторого угла делит его противолежащий катет на отрезки длиной 8 см и 17 см

Answer 1

Обозначим неизвестный катет "х", а гипотенузу "у".
Составим систему уравнений:
{х² + (8+17)² = y²,
{(x/8) = (y/17)  (по свойству биссектрисы).
Из второго уравнения у = (17х)/8 подставим в первое уравнение.
х² + 625 = (289х²)/64,
64х² + 625*64 = 289х²,
225х² = 40000,
х = √(40000/225) = 200/15 = 40/3.
Тогда гипотенуза равна (17*40)/(3*8) = 85/3.
Радиус окружности, вписанной прямоугольный треугольник, находим по формуле:
r = (a+b-c)/2 = ((40/3)+25-(85/3))/2 = (40+75-85)/6 = 30/6 = 5.

Answer 2

Для решения данной задачи, мы можем использовать свойство вписанной окружности прямоугольного треугольника, которое гласит, что биссектриса угла делит противолежащий катет на два отрезка, пропорциональных оставшимся катетам.

Пусть радиус вписанной окружности равен r. Тогда, по свойству биссектрисы, мы можем записать следующие пропорции:

r / 8 = r / 17

Мы можем упростить эту пропорцию, умножив обе части на 8 и на 17:

17r = 8r

Теперь мы можем решить эту пропорцию, разделив обе части на 8:

17r / 8 = r

Таким образом, радиус вписанной окружности прямоугольного треугольника равен r = 17/8.

Итак, радиус окружности, вписанной в данный прямоугольный треугольник, составляет 17/8 см.