Question

Треугольник АВС прямоугольный, угол С = 90 градусов. Докажите, что биссектриса СК делит пополам и угол между высотой СН и медианой СМ

Answer 1

М-центр описанной окружности, МС=МВ=МА=R, т е ∠МСВ=∠МВС,
ΔСHA подобен ΔВСА и ∠HCA=∠ABC=∠MCB, тк СК-биссектриса, то 45гр=
∠МСВ+∠КСМ=∠НСА+∠НСК, а т к ∠МСВ=∠НСА , то ∠КСН=∠КСМ , чтд

Answer 2

Для начала рассмотрим треугольник ABC.

Поскольку угол С прямой, то его биссектриса СК является медианой и высотой, так как прямоугольный треугольник имеет свойство, что высота и медиана, проведенные к гипотенузе, являются одной и той же линией.

Теперь рассмотрим угол между высотой СН и медианой СМ. Обозначим точку пересечения этих линий как О.

Так как СК является медианой, то Точка М делит сторону АС в отношении 1:2 (то есть AM:MC = 1:2).

Из теоремы о соотношении длин медиан треугольника следует, что CM:MB = 2:1.

Поскольку треугольник ABC прямоугольный, то ХО является высотой, поэтому СО делит МВ пополам.

Таким образом, получаем, что биссектриса СК действительно делит пополам угол между высотой СН и медианой СМ.