Question

В параллелограмме ABCD со стороной BC=68, биссектрисы углов A и D пересекаются в точке K, принадлежащей стороне BC Найдите периметр параллелограмма Найдите площадь параллелограмма, если известно, что угол A равен 45* Докажите, что треугольник AKD - прямоугольный

Answer 1

Сумма углов, примыкающих к стороне АД равна 180°, а половина их равна 180/2 = 90°.
Угол АКД = 180 - 90 = 90° - то есть треугольник AKD - прямоугольный.
Углы, примыкающие к биссектрисам у параллельных сторон АД и ВС равны, Поэтому боковая сторона равна половине стороне ВС, которая равна АД.
Периметр равен 34 * 2 +68 * 2 = 204.
Для определения площади параллелограмма необходимо узнать его высоту. Так как угол А =45°, то боковая сторона - это гипотенуза равнобедренного прямоугольного треугольника.
Отсюда Н = 34 * sin 45 = 34 * (√2/2) =  17√2 = 24.04163.
Площадь S = AD*H = 68 * 24.04163 = 1634.831 кв.ед.

Answer 2

Для начала найдем сторону AB параллелограмма. Так как AB || DC, то AB = DC = 68.

Треугольники ABK и CDK подобны по двум углам BKD и AKB, поэтому AK/CK = BK/DK.

Очевидно, что BK = DK, так как точка K принадлежит стороне BC (биссектрисы углов a и d пересекаются в точке K).

Поэтому AK/CK = BK/DK = 1, что значит, что AK = CK.

Таким образом, параллелограмм ABCD - ромб, поскольку его стороны параллельны и равны друг другу.

Известно, что угол a = 45 градусов. Так как параллелограмм ABCD - ромб, то угол a и угол c смежные и равны. Таким образом, угол a = угол c = 45 градусов.

Также известно, что AK = CK. Так как AK = CK и угол a = угол c = 45 градусов, то треугольник AKC - прямоугольный, так как у него две стороны равны (катеты), а угол между ними равен 90 градусов. Тогда, по теореме Пифагора, AK^2 + CK^2 = AC^2.

Заметим, что AC = AB = 68 (так как треугольник AKC - прямоугольный и AK = BK = CK).

Тогда, AK^2 + CK^2 = 68^2.

Теперь найдем площадь параллелограмма ABCD. Площадь параллелограмма равна произведению длин любой из его сторон на высоту, опущенную на эту сторону.

Высота параллелограмма ABCD есть расстояние между BC и AD, которое равно расстоянию между прямыми AB и CD (так как AB || DC). Так как AB = CD = 68, то высота параллелограмма равна расстоянию между AB и CD.

Найдем расстояние между AB и CD. В параллелограмме ABCD проведем диагонали AC и BD. Тогда треугольник ABC подобен треугольнику ACD по двум углам ABC и ACD, а значит, соответственные его стороны пропорциональны: AB/AC = BC/CD.

Подставим значения, AB = CD = 68 и BC = BC:

68/AC = 68/CD.

Отсюда получаем AC = CD.

Таким образом, расстояние между AB и CD равно 68.

Теперь мы знаем высоту параллелограмма ABCD и его сторону AB.

Площадь параллелограмма ABCD = AB x высота = 68 x 68.

Наконец, найдем периметр параллелограмма ABCD. Периметр равен сумме длин всех его сторон.

Так как параллелограмм ABCD - ромб, то его стороны равны между собой и равны 68.

Тогда, периметр = 68 + 68 + 68 + 68 = 4 x 68.

Таким образом, периметр параллелограмма ABCD равен 4 x 68 = 272.

Итак, периметр параллелограмма ABCD равен 272, площадь равна 68 x 68 = 4624, треугольник AKD является прямоугольным значит AK^2 + CK^2 = 68^2.