Question

В прямоугольном треугольнике АВС <С=90 градусов, АС=8 см, <АВС=45 градусов. Найдите:А) АВ Б) Высоту СD, проведенную к гипотенузе

Answer 1

Решение.
Т.к. <A=<C=45 градусам, то ΔABC - равнобедренный. ⇒АС=ВС=8. 
а) По теореме Пифагора, AB²=AC²+BC², AB=√8²+8²=√64+64 = √2×64=8√2см
б) В ΔBCD <D=90 градусов, ⇒ ΔBCD - прямоугольный. В нем <C=<B=45 градусов (т.к. <C=180-90-45=45 градусов) и CD=BD.
Отсюда, по теореме Пифагора, BC²=BD²+CD² или BC²=(2BD)².
8²=4BD²
64=4BD²
16=BD²
BD=4 и -4, -4 - не удовлетворяет условию задачи.
CD=BD=4 см.
Ответ: 8√2 см; 4 см

Answer 2

Для решения задачи, давайте использовать тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике. У нас есть треугольник ABC, где \(\angle C = 90^\circ\), \(\angle B = 45^\circ\), и \(AC = 8\) см.

A) Найдем длину стороны AB:

В прямоугольном треугольнике с углом \(45^\circ\) стороны при угле \(45^\circ\) равны. Поэтому \(AB = BC\).

B) Вычислим высоту CD, проведенную к гипотенузе AC:

Используем тригонометрические соотношения. В данном случае, мы можем использовать тангенс угла \(45^\circ\):

\[\tan(45^\circ) = \frac{{\text{{противоположная сторона}}}}{{\text{{прилегающая сторона}}}}.\]

Так как стороны при угле \(45^\circ\) равны, мы можем обозначить их как \(x\). Тогда:

\[\tan(45^\circ) = \frac{x}{x} = 1.\]

Таким образом, \(x = 1\). Теперь мы знаем, что \(AB = BC = 1\) см.

B) Найдем высоту CD:

Высота CD делит треугольник на два подобных треугольника: ADC и BDC.

Мы знаем, что \(\angle ADC = \angle BDC = 90^\circ\), и стороны AD и BD равны (они обе являются высотами треугольника ABC). Также мы знаем, что AB = BC = 1 см.

Таким образом, треугольники ADC и BDC - прямоугольные и подобные. Отсюда следует, что отношение сторон в этих треугольниках равно отношению сторон в треугольнике ABC.

\[\frac{{AD}}{{AC}} = \frac{{BD}}{{BC}}.\]

Подставим известные значения:

\[\frac{{AD}}{{8}} = \frac{{BD}}{{1}}.\]

Теперь найдем BD:

\[BD = \frac{{1}}{{8}} \times AD.\]

Нам нужно выразить AD через известные стороны. Мы знаем, что в треугольнике ADC, применяя теорему Пифагора, получаем:

\[AD^2 + BD^2 = AC^2.\]

Подставим значения:

\[AD^2 + \left(\frac{{1}}{{8}} \times AD\right)^2 = 8^2.\]

Решим уравнение и найдем значение AD. Затем выразим BD и получим высоту CD.