Question

Докажите, что если в прямоугольном треугольнике расстояние от середины гипотенузы до вершины прямого угла равно длине катета, то один из углов равен 30 градусов.

Answer 1

Медиана в треугольнике, проведенная из прямого угла равна половине гипотенузы (если надо доказать, напиши). Если катет равен медиане, то он равен половине гипотенузы, а значит противолежащий угол равен 30 градусам. (потому что появляется равносторонний треугольник, где углы по 60 градусов. 90-60=30)

Answer 2

Постановка задачи:

Дан прямоугольный треугольник, в котором расстояние от середины гипотенузы до вершины прямого угла равно длине одного из катетов. Требуется доказать, что один из углов этого треугольника равен 30 градусов.

Решение:

Для доказательства этого факта воспользуемся геометрическими свойствами прямоугольных треугольников.

Пусть треугольник ABC - прямоугольный треугольник, где А - вершина прямого угла, В - середина гипотенузы, C - вершина, от которой отсчитывается расстояние до середины гипотенузы.

Пусть AC - гипотенуза, AB и BC - катеты, причем BC = AC/2.

Доказательство:

1. Рассмотрим треугольник ABC. По свойству прямоугольных треугольников, гипотенуза AC является диаметром описанной окружности этого треугольника.

2. Пусть O - центр описанной окружности треугольника ABC, тогда OC является радиусом этой окружности. Поскольку BC = AC/2, то OC = BC/2 = AC/4.

3. Согласно определению, расстояние от середины гипотенузы до вершины прямого угла равно длине одного из катетов, то есть BC = AC/2.

4. Из пункта 2 следует, что OC = AC/4 = BC/2.

5. Рассмотрим треугольник BOC. Поскольку OC - радиус описанной окружности, а BC - сторона треугольника, то угол BOC равен 90 градусов.

6. Таким образом, у треугольника BOC два угла, равные 90 градусов и угол BOC, следовательно, равен 180 - 90 - 90 = 0 градусов.

7. Угол BOC равен 0 градусов, если и только если стороны треугольника BC и OC совпадают. То есть BC = OC.

8. Из пункта 4 следует, что BC = OC, следовательно, угол BOC = 0 градусов.

9. Угол BOC = 0 градусов означает, что отрезок BC является диаметром описанной окружности треугольника BOC.

10. Поскольку треугольник BOC является прямоугольным и у него один из углов равен 90 градусов, то другой угол треугольника BOC равен 90 - 0 = 90 градусов.

11. Угол BOC равен 90 градусов, следовательно, угол ABC, который соответствует углу BOC, также равен 90 градусов.

12. Угол ABC = 90 градусов означает, что треугольник ABC является прямоугольным.

13. Таким образом, если расстояние от середины гипотенузы до вершины прямого угла равно длине одного из катетов, то один из углов этого треугольника равен 30 градусов.

Доказательство завершено.

Это доказательство подтверждает, что если в прямоугольном треугольнике расстояние от середины гипотенузы до вершины прямого угла равно длине катета, то один из углов равен 30 градусов.