Question

В выпуклом многоугольнике 54 диагонали. Найдите количество его сторон и сумму углов.

Answer 1

Стороны и диагонали в выпуклом n-угольнике связаны соотношением: число диагоналей = (n -3)*n/2  (количество сторон и углов одинаково) , тогда 54= (n-3)*n/2 или 108= (n-3)*n раскроем скобки и получим квадратное уравнение :n квадрат -3n - 108 =0 решим через дискриминант и получим, что n=12 Это 12-тиугольник и сторон у него тоже 12, тогда сумма всех углов равна 180*(n-2), получаем: 180*(12-2)=1800 градусов     Ответ: 12 сторон и 1800 градусов 

Answer 2

Для нахождения количества сторон и суммы углов выпуклого многоугольника, зная количество его диагоналей, мы можем воспользоваться следующими формулами:

1. Количество диагоналей в многоугольнике с n сторонами вычисляется по формуле: \(D = \frac{n \cdot (n-3)}{2}\), где D - количество диагоналей, n - количество сторон.

2. Количество углов в многоугольнике равно количеству его сторон.

3. Сумма углов в многоугольнике вычисляется по формуле: \(S = (n-2) \cdot 180^\circ\), где S - сумма углов, n - количество сторон.

Известно, что в вашем случае количество диагоналей равно 54. Подставим это значение в формулу:

\[54 = \frac{n \cdot (n-3)}{2}\]

Умножим обе стороны на 2, чтобы избавиться от дроби:

\[108 = n \cdot (n-3)\]

Раскроем скобки:

\[108 = n^2 - 3n\]

Приведем уравнение к виду квадратного уравнения:

\[n^2 - 3n - 108 = 0\]

Решим это квадратное уравнение. Мы видим, что это уравнение может быть факторизовано:

\[(n-12)(n+9) = 0\]

Отсюда получаем два возможных значения для n:

1. \(n-12 = 0 \Rightarrow n = 12\) 2. \(n+9 = 0 \Rightarrow n = -9\) (отрицательное значение не имеет физического смысла в данном контексте)

Таким образом, у нас есть многоугольник с 12 сторонами. Теперь мы можем использовать это значение для нахождения суммы углов:

\[S = (12-2) \cdot 180^\circ = 10 \cdot 180^\circ = 1800^\circ\]

Итак, в многоугольнике с 12 сторонами сумма углов составляет \(1800^\circ\), а количество его сторон равно 12.