Question

Высоты AD и CE остроугольного треугольника АВС пересекаются в точке О , ОА=4см,ОD=3cм, ВD=4см. Найдите расстояние от точки О до стороны АС.

Answer 1

1) Продолжим BO до пересечения с AC в точке F. Т.к. все высоты треугольника пересекаются в одной точке, то BF - высота и, значит, искомое расстояние от О до АС равно OF.
2) Из прямоугольного треугольника OBD по теореме Пифагора OB=5.
3) Т.к. треугольники OAF и OBD подобны (по двум углам), то OF/OA=OD/OB, т.е. OF/4=3/5. Отсюда OF=12/5=2,4.

Answer 2

Для решения данной задачи воспользуемся свойством высоты треугольника.

Высоты AD и CE пересекаются в точке О. По условию, ОА = 4 см, ОD = 3 см, ВD = 4 см.

Рассмотрим треугольник ОВD. По теореме Пифагора найдем длину отрезка ОВ: ОВ² = ОD² + ВD² = 3² + 4² = 9 + 16 = 25. Извлекая корень, получаем ОВ = 5 см.

Теперь рассмотрим треугольник ОАС. Мы хотим найти расстояние от точки О до стороны АС. Обозначим это расстояние как х.

Так как ОА и ОВ являются высотами треугольника АВС, то мы можем записать соотношения площадей треугольников ОАС и ОВС:

Площадь треугольника ОАС: S(ОАС) = (1/2) * ОА * х Площадь треугольника ОВС: S(ОВС) = (1/2) * ОВ * ВС

Поскольку треугольник АВС остроугольный, то его площадь можно также выразить через стороны треугольника, используя формулу Герона:

S(АВС) = √(p * (p - AB) * (p - BC) * (p - AC))

где p - полупериметр треугольника АВС, AB, BC, AC - длины сторон треугольника.

Поскольку высоты треугольника пересекаются в точке О, то площади треугольников ОАС и ОВС равны площади треугольника АВС:

(1/2) * ОА * х = (1/2) * ОВ * ВС

Подставим известные значения: ОА = 4 см, ОВ = 5 см, ВС = 4 см:

(1/2) * 4 * х = (1/2) * 5 * 4

Упростим выражение:

2х = 10

Выразим х:

х = 10 / 2

х = 5

Таким образом, расстояние от точки О до стороны АС равно 5 см.