Question

В прямоугольном треугольнике АВС медиана, проведенная из вершины прямого угла С, равна 4, а медиана, проведенная к большему катету, равна 2√7. Найдите площадь треугольника.

Answer 1

треугольник АВС, уголС=90, СМ-медиана=4, АК-медиана на ВС=2*корень7, медиана в прямоугольном треугольнике, проведенная к гипотенузе=1/2гипотенузы, АВ=СМ*2=4*2=8, ВК=КС=1/2ВС, ВС =корень(АВ в квадрате-АС в квадрате)=корень(64-АС в квадрате), КС=1/2ВС=(корень(64-АС в квадрате)) / 2, КС в квадрате=(64-АС в квадрате)/4, треугольник АКС прямоугольный, КС в квадрате=АК в квадрате-АС в квадрате=28-АС в квадрате, (64-АС в квадрате)/4=28-АС в квадрате, 64-АС в квадрате=112-4*АС в квадрате, 3*АС в квадрате=48, АС=4, ВС=корень(64-16)=4*корень3, площадь АВС=1/2*АС*ВС=1/2*4*4*корень3=8*корень3

Answer 2

Решение:

Для начала найдем длины сторон прямоугольного треугольника \(ABC\) с помощью данных о медианах.

Медиана, проведенная из вершины прямого угла \(C\), равна половине гипотенузы, то есть \(CM = \frac{1}{2}AB\). Также, медиана, проведенная к большему катету, равна половине этого катета, то есть \(CN = \frac{1}{2}AC\).

Из этого следует, что \(AB = 2CM\) и \(AC = 2CN\).

Таким образом, у нас есть уравнения:

\(AB = 2 \cdot 4 = 8\)

\(AC = 2 \cdot 2\sqrt{7} = 4\sqrt{7}\)

Теперь мы можем использовать эти значения, чтобы найти площадь треугольника.

Площадь прямоугольного треугольника можно найти по формуле:

\[S = \frac{1}{2} \times AB \times AC\]

Подставим значения сторон:

\[S = \frac{1}{2} \times 8 \times 4\sqrt{7} = 16\sqrt{7}\]

Таким образом, площадь треугольника \(ABC\) равна \(16\sqrt{7}\).