Question

Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке F стороны CD. Докажите, что F — середина CD.

Answer 1

параллелограмм АВСД, АФ-биссектриса угла А, уголВАФ=уголДАФ=1/2уголА, уголВАФ=уголАФД как внутренние разносторонние, треугольник АДФ равнобедренный, АД=ДФ, ВФ-биссектриса угла В, уголАВФ=уголСВФ=1/2уголВ, уголАВФ=уголВФС как внутренние разносторонние, треугольник ВСФ равнобедренный, ВС=СФ, но ВС=АД, тогда СФ=ДФ, Ф-середина СД

Answer 2

Для доказательства того, что точка F является серединой стороны CD, нам необходимо воспользоваться свойством биссектрисы угла.

Пусть точки M и N являются точками пересечения биссектрис углов A и B со стороной CD соответственно. Тогда, согласно свойству биссектрисы, угол FMA будет равен углу FNA, а угол FMB будет равен углу FNB.

Так как углы AMF и FMB являются смежными и равными, то они также равны углам FMB и FNC. Аналогично, углы ANF и FNA равны углам FMB и FNC.

Из этих равенств следует, что углы AMF и ANF равны. Но сумма углов AMF и ANF равна 180 градусам, так как они образуют прямую. Следовательно, каждый из этих углов равен 90 градусам.

Таким образом, мы получаем, что точка F является серединой стороны CD, так как биссектрисы углов A и B пересекаются в этой точке и делят сторону CD на две равные части.