Question

Какие из следующих уравнений являются уравнением окружности: а)х^2+у^2=-9;б) х^2+у^2=25; в)(х-3)^2+(у+2)^2=7; г)(х-2)^2+у=16; д)х^2+у^2-2(х+у)=2

Answer 1

Самой недавно задавали такое задание. Ответы: Б), В), Д).

Answer 2

Ответ: Уравнение окружности имеет вид $$x^2+y^2+Ax+By+C=0$$, где $$A, B, C$$ - константы. Для того, чтобы определить, является ли данное уравнение уравнением окружности, нужно проверить, выполняется ли условие $$A^2+B^2-4C>0$$. Если это условие выполняется, то уравнение задает окружность с центром в точке $$(-\frac{A}{2}, -\frac{B}{2})$$ и радиусом $$R=\sqrt{\frac{A^2+B^2-4C}{4}}$$.

Анализируя уравнения, даны в вопросе, можно сделать следующие выводы:

а) $$x^2+y^2=-9$$ - это не уравнение окружности, так как $$A^2+B^2-4C=0^2+0^2-4(-9)=36<0$$.

б) $$x^2+y^2=25$$ - это уравнение окружности, так как $$A^2+B^2-4C=0^2+0^2-4(25)=-100<0$$. Центр окружности - точка $$(0, 0)$$, радиус - $$R=\sqrt{\frac{-100}{4}}=5$$.

в) $$(x-3)^2+(y+2)^2=7$$ - это уравнение окружности, так как $$A^2+B^2-4C=(-6)^2+4^2-4(7)=-12<0$$. Центр окружности - точка $$(3, -2)$$, радиус - $$R=\sqrt{\frac{-12}{4}}=\sqrt{3}$$.

г) $$(x-2)^2+y=16$$ - это не уравнение окружности, так как $$A^2+B^2-4C=(-4)^2+0^2-4(16)=-48<0$$.

д) $$x^2+y^2-2(x+y)=2$$ - это уравнение окружности, так как $$A^2+B^2-4C=(-2)^2+(-2)^2-4(2)=-4<0$$. Центр окружности - точка $$(1, 1)$$, радиус - $$R=\sqrt{\frac{-4}{4}}=1$$.

Итак, из пяти уравнений, только три являются уравнениями окружности: б), в) и д).

: [Уравнение окружности]