Question

в квадрате ABCD сторона AB=8. Найдите скалярное произведение CD*CA

Answer 1

Путь А. Угол между векторами CD, CA равен +-45 градусов (в зависимости от того, как буквы стоят). Длина АС = sqrt(8^2+8^2)=8sqrt(2) - теорема Пифагора.

Cd*CA=+-8*8sqrt(2)*sin45=+-64

 

Путь В. Введем ПСК с центром в точке С и осями, направленными по сторонам куба. Тогда вектор CD = (-8, 0); CA = +-(-8,-8)

CD*CA=+-(-8)*(-8)=+-64

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем использовать определение скалярного произведения векторов. Скалярное произведение двух векторов \( \vec{u} \) и \( \vec{v} \) обозначается как \( \vec{u} \cdot \vec{v} \) и определяется как произведение длин векторов на косинус угла между ними.

Для начала, нам нужно найти вектора \( \vec{CD} \) и \( \vec{CA} \). После этого мы найдем угол между этими векторами и вычислим скалярное произведение.

Нахождение векторов CD и CA

Поскольку мы знаем координаты точек C и D, мы можем найти вектор \( \vec{CD} \) следующим образом: \[ \vec{CD} = \vec{D} - \vec{C} \]

Аналогично, мы можем найти вектор \( \vec{CA} \): \[ \vec{CA} = \vec{A} - \vec{C} \]

Нахождение угла между векторами

После нахождения векторов \( \vec{CD} \) и \( \vec{CA} \), мы можем найти косинус угла \( \theta \) между ними, используя формулу: \[ \cos(\theta) = \frac{\vec{CD} \cdot \vec{CA}}{|\vec{CD}| \cdot |\vec{CA}|} \]

Вычисление скалярного произведения

И, наконец, скалярное произведение \( \vec{CD} \cdot \vec{CA} \) будет равно \( |\vec{CD}| \cdot |\vec{CA}| \cdot \cos(\theta) \).

Давайте найдем координаты точек C и D, чтобы продолжить вычисления.