Question

45 балловВ равнобедренном треугольнике расстояние от центра вписанной окружности до вершины неравного угла равно 5 см. Боковая сторона равна 10 см. Найдите радиус.

Answer 1

Центр вписанной окружности ---точка пересечения биссектрис треугольника,
в равнобедренном треугольнике биссектриса к основанию (неравной стороне) является и медианой и высотой...
эта высота состоит из двух частей: 5 см и радиус
радиусы, проведенные в точку касания, перпендикулярны сторонам треугольника (касательным к окружности)))
отрезки касательных из одной точки равны)))
можно просто дважды записать т.Пифагора для получившихся двух прямоугольных треугольников,
а можно заметить подобие прямоугольных треугольников (общий острый угол))) и решение получится гораздо короче...

Answer 2

В равнобедренном треугольнике центр вписанной окружности, биссектриса и медиана, проведенные из вершины неравного угла, пересекаются в одной точке.

По условию задачи, расстояние от центра вписанной окружности до вершины неравного угла равно 5 см. Обозначим это расстояние как r.

Также известно, что боковая сторона треугольника равна 10 см. Обозначим ее как a.

Пусть точка пересечения центра вписанной окружности, биссектрисы и медианы обозначена как O.

Так как биссектриса и медиана пересекаются в точке O, то расстояние от O до боковой стороны треугольника равно половине длины боковой стороны. Так как боковая сторона равна 10 см, то расстояние от O до стороны равно 5 см.

Таким образом, в треугольнике OBC (где B и C - точки пересечения биссектрисы и медианы с боковой стороной) мы имеем прямоугольный треугольник со сторонами 5 см, 5 см и r см.

Применяем теорему Пифагора: r^2 = 5^2 + 5^2 = 50 + 50 = 100.

Корень из 100 равен 10.

Итак, радиус вписанной окружности равен 10 см.