Question

В треугольнике CDE проведена биссектриса EF. C = 90о, D = 30о. а) Докажите, что треугольник DEF - равнобедренный. б) Сравните отрезки CF и DF.

Answer 1

Угол DEC=90-30=60
угол DEF=углу CEF=30
у треугольника DEF угол FDE=30 (по условию) и угол DEF=30. треугольник является равнобедренным 
CF<DF, т.к CF:DF=EC:ED 
EC - это катет прямоугольного треугольника, а ED - его гипотенуза. известно, что катет короче гипотенузы

Answer 2

а) Для доказательства того, что треугольник DEF - равнобедренный, нам нужно доказать, что отрезки DE и DF равны. Для этого обратимся к свойству биссектрисы треугольника: она делит противоположный ей угол пополам и делит противоположную ей сторону в отношении к двум оставшимся сторонам треугольника. В данном случае биссектриса EF делит угол CDE (90°) пополам, то есть угол EDF (45°), а также делит сторону DE в отношении к сторонам CD и CE.

Таким образом, получаем, что треугольник DEF равнобедренный, так как DE=DF.

б) Так как треугольник DEF равнобедренный, то отрезки CF и DF равны, так как они являются биссектрисами углов CDE и DFE соответственно.