Question

В треугольнике ABC известно, что AB=15, BC=14, AC=13, а медиана AA 1 пересекает биссектрису BB1 в точке P найдите площадь A1PB1C

Answer 1

Площадь треугольника АВС по формуле Герона равна:
Sabc=√[p(p-a)(p-b)(p-c)], где р - полупериметр = (15+14+13):2=21.
Тогда Sabc=√[21*6*7*8]=84.
Площадь треугольника АВА1 равна:  Saba1=42, так как АА1 - медиана, которая делит треугольник АВС на два равновеликих.
ВР - биссектриса и делит сторону АА1 в отношении
АР/РА1=АВ/ВА1=15/7 (свойство). И в этом же отношении делится площадь треугольника АВА1 (свойство).
Значит площадь треугольника ВРА1=42*(7/22)=84*7/44.
Также и в треугольнике АВС биссектриса ВВ1 делит сторону АС в отношении АВ1/В1С=15/14 и Sabb1/Sbb1c=15/14.
Значит Sabb1=(15/29)*Sabc=(15/29)*84.
Тогда Sa1pb1c=Sabc-Sabb1-Sbpa1 или
Sa1pb1c=84-(15/29)*84-84*(7/44) или
Sa1pb1c=84(1-15/29-7/44)=84*413/1276≈27,188≈27,2.

Answer 2

Для начала найдем координаты точек A, B и C. Пусть A(0, 0), B(15, 0), C(x, y).

Используя теорему Пифагора, найдем координаты точки C: AC^2 = AB^2 + BC^2 13^2 = 15^2 + x^2 169 = 225 + x^2 x^2 = -56 x = √(-56) x = 7i

Таким образом, координаты точки C равны (7i, 13).

Теперь найдем координаты точки A1, B1 и P.

Медиана AA1 делит отрезок BC пополам, поэтому координаты точки A1 будут равны (15/2, 13/2).

Точка P - точка пересечения биссектрисы BB1 с медианой AA1. Найдем координаты точки P.

Уравнение прямой, проходящей через точки B(15, 0) и B1(15/2, 13/2): y = (13/2) / (15/2 - 15) * (x - 15) + 13/2 y = (13/2) / (-15/2) * (x - 15) + 13/2 y = -13/15 * (x - 15) + 13/2 y = -13x/15 + 13 + 13/2 y = -13x/15 + 39/2

Уравнение прямой, проходящей через точки A(0, 0) и A1(15/2, 13/2): y = (13/2) / (15/2 - 0) * (x - 0) + 0 y = (13/2) / (15/2) * x y = 13x/30

Теперь найдем точку пересечения этих двух прямых. Подставим уравнения прямых друг в друга: -13x/15 + 39/2 = 13x/30 -13x/15 - 13x/30 = -39/2 -26x/30 = -39/2 -13x/15 = -39/2 x = 15

Таким образом, координаты точки P равны (15, 13/2).

Теперь найдем площадь четырехугольника A1PB1C. Площадь четырехугольника можно найти как сумму площадей двух треугольников: A1PB и B1PC.

Площадь треугольника A1PB: S1 = 1/2 * A1P * PB S1 = 1/2 * (15/2) * (13/2) S1 = 15.75

Площадь треугольника B1PC: S2 = 1/2 * B1P * PC S2 = 1/2 * (15/2) * (13/2) S2 = 15.75

Теперь найдем общую площадь четырехугольника A1PB1C: S = S1 + S2 S = 15.75 + 15.75 S = 31.5

Итак, площадь четырехугольника A1PB1C равна 31.5.