Question

Точка пересечения биссектрис равноудалена от его вершин. помогите доказать что треугольник равносторонний

Answer 1

Чертеж во вложении.
Т.к. АК-биссектриса ∠А, то ∠1=∠2.
Т.к. ВМ-биссектриса ∠В, то ∠3=∠4.
Т.к. СЕ-биссектриса ∠С, то ∠5=∠6.
По условию ОА=ОВ=ОС. Значит, треугольники АОВ, АОС и ВОС - равнобедренные.У них в каждом углы при основании равны, т.е.
∠1=∠3, ∠2=∠6, ∠4=∠5. Отсюда следует, что  ∠1=∠2=∠3=∠4=∠5=∠6.
Тогда ∠1+∠2 =∠3+∠4= ∠5+∠6, т.е. ∠А=∠В=∠С.
В треугольнике против равных углов лежат равные стороны. Значит, АВ=ВС=АС.
Т.е. ∆АВС - равносторонний. Доказано.

Answer 2

Точка пересечения биссектрис равноудалена от его вершин. Помогите доказать, что треугольник равносторонний

Для доказательства того, что треугольник равносторонний, нужно показать, что все его стороны равны между собой. В данном случае, мы знаем, что точка пересечения биссектрис равноудалена от вершин треугольника. Давайте рассмотрим это более подробно.

Пусть у нас есть треугольник ABC, где точка O - точка пересечения биссектрис. По условию, точка O равноудалена от вершин треугольника. Это означает, что расстояние от точки O до вершины A равно расстоянию от точки O до вершины B, и также равно расстоянию от точки O до вершины C.

Мы можем обозначить расстояние от точки O до вершины A как OA, расстояние от точки O до вершины B как OB и расстояние от точки O до вершины C как OC. Из условия задачи, мы знаем, что OA = OB = OC.

Теперь рассмотрим биссектрисы треугольника ABC. Биссектриса треугольника - это линия, которая делит угол на две равные части. В нашем случае, у нас есть три биссектрисы: биссектриса угла A, биссектриса угла B и биссектриса угла C.

Поскольку точка O является точкой пересечения биссектрис, она лежит на всех трех биссектрисах. Это означает, что расстояние от точки O до стороны AB равно расстоянию от точки O до стороны AC, и также равно расстоянию от точки O до стороны BC.

Мы можем обозначить расстояние от точки O до стороны AB как OD, расстояние от точки O до стороны AC как OE и расстояние от точки O до стороны BC как OF. Из условия задачи, мы знаем, что OD = OE = OF.

Теперь мы можем сравнить расстояния OD, OE и OF с расстояниями OA, OB и OC. Поскольку точка O равноудалена от вершин треугольника, мы можем сделать вывод, что OD = OA, OE = OB и OF = OC.

Таким образом, мы получили, что OD = OE = OF = OA = OB = OC. Это означает, что все стороны треугольника равны между собой, что является определением равностороннего треугольника.

Вывод: Треугольник ABC является равносторонним треугольником.