Question

Плоскости α, β и γ попарно пересекаются. Докажите, что если не существует прямой, параллельной каждой из данных плоскостей, то плоскости α, β и γ имеют только одну общую точку (рассмотрите три случая взаимного расположения плоскостей).

Answer 1

Мы эту тему сейчас проходим,есть только 2 взаимного положения плоскостей- пересекающиеся и параллельные,доказать можно через аксиому:через прямую и точку можно провести плоскость,проведем прямую а параллельную плоскости альфа, так так альфа параллельна бетта,а пересекает бетта;используем другую аксиому:если 2 плоскости имеют общую точку,то они пересекаются,альфа и бетта имеют общую точку,а вот гамма может и не пересекать альфа,в любом случае у все 3 плоскостей общей точки не будет,т.к плоскости пересекаются попарно

Answer 2

Для начала рассмотрим три случая взаимного расположения плоскостей α, β и γ:

1. Плоскости α, β и γ пересекаются в одной общей точке. 2. Плоскости α и β пересекаются, а плоскость γ параллельна этому пересечению. 3. Ни одна из плоскостей не параллельна другим, но они не пересекаются в одной общей точке.

Теперь докажем, что если не существует прямой, параллельной каждой из данных плоскостей, то плоскости α, β и γ имеют только одну общую точку.

Предположим, что плоскости α, β и γ имеют более чем одну общую точку. Рассмотрим две общие точки A и B этих плоскостей. Тогда прямая AB лежит в каждой из плоскостей α, β и γ. Но по условию задачи такой прямой не существует, так как нет прямой, параллельной каждой из данных плоскостей. Значит, мы получили противоречие, и плоскости α, β и γ не могут иметь более чем одну общую точку.

Таким образом, мы доказали, что если не существует прямой, параллельной каждой из данных плоскостей, то плоскости α, β и γ имеют только одну общую точку.