Question

В треугольнике ABC угол А равен 40°, угол В равен 20°, а АВ - ВС = 4. Найдите длину биссектрисы угла С.

Answer 1

Отложим на стороне AB отрезок BD, равный BC. Тогда треугольник BCD – равнобедренный с углом при вершине 20°, поэтому углы при основании равны 80° (см. рис.). Пусть CE – биссектриса угла C. Тогда  ∠BCE = 60°,  поэтому  ∠AEC = 20° + 60° = 80°.  Таким образом, в треугольнике DEC равны два угла, поэтому он равнобедренный. Угол при его вершине C равен 20°, поэтому  ∠ACD = 40°.  Значит, треугольник ACD также равнобедренный, следовательно, 
CE = CD = AD = AB – BC = 4.
Ответ: 4

Answer 2

Для начала найдем длину сторон треугольника ABC. Используем знание, что сумма углов в треугольнике равна 180°:

Угол А = 40° Угол B = 20° Угол C = 180° - 40° - 20° = 120°

Теперь мы можем использовать закон синусов, чтобы найти длину сторон треугольника. Пусть сторона AB = a, сторона BC = b, и сторона AC = c.

sin(A)/a = sin(B)/b = sin(C)/c

Мы знаем, что AB - BC = 4, поэтому a - b = 4. Мы также можем использовать формулы для нахождения сторон треугольника:

a/sin(A) = b/sin(B) = c/sin(C)

Используя эти формулы, мы можем найти длину сторон треугольника:

a/sin(40°) = b/sin(20°) => a = (b * sin(40°))/sin(20°) a - b = 4

Теперь мы можем заменить значение a в уравнении a - b = 4 и решить уравнение для b:

(b * sin(40°))/sin(20°) - b = 4 b * (sin(40°)/sin(20°) - 1) = 4 b = 4 / (sin(40°)/sin(20°) - 1)

Теперь, когда мы нашли значение b, мы можем найти значение a:

a = (b * sin(40°))/sin(20°)

Теперь, когда мы знаем длину сторон треугольника, мы можем найти длину биссектрисы угла C. Для этого мы используем формулу для биссектрисы треугольника:

биссектриса = 2 * sqrt(a * b * p * (p - c)) / (a + b)

где p - полупериметр треугольника (p = (a + b + c)/2)

Подставим найденные значения сторон треугольника в формулу для биссектрисы и найдем ее длину.