Question

Точка М равноудалена от всех вершин правильного треугольника со строной 9см и находится на расстоянии 12см от плоскости треугольника. Найти расстояние от точки М до стороны треугольника

Answer 1

12см = МО ( О - центр правильного треугольника со стороной 9 см)
Точка О - это точка пересечения высот(медиан, биссектрис) треугольника.
Найдём по т. Пифагора высоту(медиану, биссектрису)  этого треугольника:
h²= 9² - 4,5² = 243/4
h = 9√3/2
Вся штука в том, что медианы пересекаются в отношении 1 к 2. Т.е. медианы делятся на отрезки 9√3/6= 3√3/2  и  18√3 /6 = 3√3
Берём прямоугольный треугольник, в котором катет = 12,
 второй катет =3√3/2, а гипотенуза -искомое расстояние= х
По т. Пифагора х² = 144 + 27/4= 603/4
х = 3√67/2

Answer 2

Решение:

Для начала, обозначим вершины правильного треугольника как A, B и C, а точку M как точку, которая находится на равном расстоянии от всех вершин треугольника.

Так как треугольник ABC является правильным, то точка M будет находиться в центре описанной окружности этого треугольника. Это означает, что точка M будет находиться на перпендикуляре, опущенном из центра описанной окружности на сторону треугольника.

Для начала найдем радиус описанной окружности правильного треугольника. Радиус описанной окружности правильного треугольника можно найти, используя формулу:

\[ R = \frac{a}{\sqrt{3}} \]

где \( a \) - сторона треугольника.

Подставляя значение стороны треугольника \( a = 9 \) см:

\[ R = \frac{9}{\sqrt{3}} = 3\sqrt{3} \] см

Теперь, чтобы найти расстояние от точки M до стороны треугольника, мы можем использовать свойство перпендикуляра, опущенного из центра описанной окружности на сторону треугольника. Это расстояние будет равно радиусу описанной окружности.

Таким образом, расстояние от точки M до стороны треугольника будет равно радиусу описанной окружности:

\[ d = R = 3\sqrt{3} \] см

Ответ: Расстояние от точки M до стороны треугольника равно \( 3\sqrt{3} \) см.