Question

АВ – диаметр окружности с центром О. Найдите координаты центра окружности, если А (6;-7) и В (-2;5). ​

Answer 1

Дано:

Диаметр окружности:  отрезок $AB$.

Центр окружности: точка $O$.

Координаты следующих точек:  $A( 6; \: -7), \: B(-2; \: 5)$.

Найти нужно координаты центра окружности:  $O(?; \: ?)$.

Решение:

Найдём координаты центра окружности, используя правило нахождения среднего арифметического чисел.

Т.е. возьмём у точки "A" и точки "B" координату по оси абсцисс (Ox). Представьте, что мы должны найти среднее арифметическое чисел "6" и "-2".

Вспоминаем правило: чтобы найти среднее арифметическое, нужно сложить все числа и поделить их сумму на их количество (пример прикреплён ниже).

Теперь поработаем с выбранными координатами точек:

$x=\dfrac{\Big(6+(-2)\Big)}{2}=\dfrac{(6-2)}{2}=\dfrac{4}{2}=\boldsymbol{2}$.

Теперь мы знаем, что за координата указана по оси абсцисс. Но нам ещё нужно найти координату по оси ординат (Oy).

Делаем всё по аналогии нахождения координаты оси абсцисс. Берём вторые координаты у обоих точек, которые образуют отрезок "AB". Это будут координаты "-7" и "5". Теперь находим их среднее арифметическое и получаем ответ:

$y=\dfrac{(-7+5)}{2}=\dfrac{\Big(-(7-5)\Big)}{2}=\dfrac{-2}{2}=\boldsymbol{-1}$.

(чертёж к задаче прикреплён ниже)

Ответ:   $\Large { \boxed { \bold { O(2; \: -1)}} }$.

Answer 2

Для нахождения координат центра окружности (О), можно воспользоваться следующими шагами:

1. Найдите середину отрезка AB. Это даст точку M, которая будет лежать на диаметре окружности и также будет проходить через центр окружности.

2. Используйте среднюю точку M и одну из конечных точек (например, А или В), чтобы найти вектор, направленный от центра окружности О к точке М.

3. Конечно, с этой информацией можно найти точку О, относительно которой известна информация о векторе и с помощью которой можно найти координаты центра окружности.

Давайте выполним вычисления:

1. Найдем середину отрезка AB:

Середина отрезка AB с координатами (x, y) вычисляется следующим образом: x = (x1 + x2) / 2 y = (y1 + y2) / 2

где (x1, y1) - координаты точки A (6, -7), а (x2, y2) - координаты точки B (-2, 5):

x = (6 + (-2)) / 2 = 4 / 2 = 2 y = (-7 + 5) / 2 = -2 / 2 = -1

Таким образом, координаты точки M равны (2, -1).

2. Найдем вектор OM (направленный от центра окружности О к точке М):

Вектор OM задается разностью координат точек M и O: OM = (xM - xO, yM - yO)

Подставим известные значения: (2 - xO, -1 - yO)

3. Найдем точку О, используя информацию о векторе и известную точку (например, точку А):

Так как АВ является диаметром окружности, диаметр проходит через центр окружности. Следовательно, вектор ОМ будет иметь такое же направление и длину, как и вектор АМ:

OM = AM

AM = (xM - xA, yM - yA)

Подставим известные значения: (2 - 6, -1 - (-7)) = (-4, 6)

Таким образом, вектор OM равен (-4, 6).

Теперь мы можем найти координаты центра окружности О, используя информацию о векторе OM и известную точку M:

xO = xM - xOM = 2 - (-4) = 6 yO = yM - yOM = -1 - 6 = -7

Таким образом, координаты центра окружности О равны (6, -7).