Question

Центр кола з радіусом 5 знаходиться у точці перетину прямих 4х + 3y — 18 = 0 та 3х – 4у – 1 = 0. У яких точках це коло перетинає дані прямі?​

Answer 1

Ответ:

Точки пересечения окружности с прямой 4х + 3y — 18 = 0 имеют координаты (0; 6) и (6; -2)

Точки пересечения окружности с прямой 3х – 4у – 1 = 0 имеют координаты (-1; -1) и (7; 5)

Объяснение:

Задача:

Центр окружности с радиусом 5 находится в точке пересечения прямых 4х + 3y - 18 = 0 и 3х - 4у - 1 = 0. В каких точках этот круг пересекает данные прямые?

Решение:

Найдём точку пересечения прямых

4х + 3y - 18 = 0    | ·3                              4х + 3y - 18 = 0    | ·4        

3х - 4у - 1 = 0       |· 4                              3х - 4у - 1 = 0       |· 3  

12x + 9y - 54 = 0                                     16x + 12y + 72 = 0

12x - 16y - 4 = 0                                       9x  - 12y -3 = 0

25y - 50 = 0      ⇒  y =  2                        25x + 75 = 0         ⇒ x = 3  

Итак. центр окружности находится в точке с координатами (3; 2)

Тогда уравнение окружности

(х - 3)² + (у - 2)² = 25            (1)

Найдём точки пересечения окружности с прямой

4х + 3у - 18 = 0          

или

у = -4х/3 + 6

Подставим в  (1)

(х - 3)² + (-4х/3 + 4)² = 25

х² - 6х + 9 + 16х²/9 - 32х/3 + 16 = 25

9х² - 54х + 81 + 16х² - 96х + 144 = 225

25х² - 150х =0                    

х² - 6х = 0

х₁ = 0;    х₂ = 6;

из уравнения у = -4х/3 + 6 получаем

y₁ = 6;    y₂ = -2;

Найдём точки пересечения окружности с прямой

3х – 4у – 1 = 0        

или

у = 3х/4 - 1/4

Подставим в  (1)

(х - 3)² + (3х/4 - 9/4)² = 25

х² - 6х + 9 + 9х²/16 - 54х/16 + 81/16 = 25

16х² - 96х + 144 + 9х² - 54х + 81 = 400

25х² - 150х - 175 =0

x² - 6x - 7 = 0

D =  6² +  4 · 7 =  64 = 8²            

х₁ = 0.5 · (6 - 8) = -1              x₂ = 0.5 · (6 + 8) = 7  

Из уравнения у = 3х/4 - 1/4 получаем

y₁ = -1;                                    y₂ = 5              

Answer 2

Для знаходження точок перетину кола і прямих, ми спочатку визначимо координати центра кола та його радіус, а потім підставимо їх у рівняння прямих для знаходження точок перетину.

1. Знайдемо координати центра кола:

   • Рівняння прямої 1: 4x + 3y - 18 = 0
   • Рівняння прямої 2: 3x - 4y - 1 = 0

   Спочатку перетворимо обидва рівняння у вигляд зручний для знаходження центра кола:

   Для прямої 1: 4x + 3y - 18 = 0 4x = -3y + 18 x = (-3y + 18)/4

   Для прямої 2: 3x - 4y - 1 = 0 3x = 4y + 1 x = (4y + 1)/3

   Тепер ми можемо прирівняти обидва вирази для x та y, оскільки вони обидва рівні x:

   (-3y + 18)/4 = (4y + 1)/3

   Тепер розв'яжемо це рівняння для знаходження координат y центра кола:

   3*(-3y + 18) = 4*(4y + 1) -9y + 54 = 16y + 4 -9y - 16y = 4 - 54 -25y = -50 y = -50 / -25 y = 2

   Тепер, коли ми знайшли y координату центра кола, можемо знайти x координату, підставивши y = 2 в одне з рівнянь прямих. Давайте використаємо рівняння прямої 1:

   x = (-3*2 + 18)/4 x = (6 + 18)/4 x = 24/4 x = 6

   Отже, центр кола має координати (x, y) = (6, 2).

2. Знайдемо радіус кола, він вже відомий як 5 одиниць.

3. Тепер, коли маємо координати центра кола і його радіус, ми можемо знайти точки перетину кола і прямих за допомогою рівняння кола:

   Рівняння кола: (x - x₀)² + (y - y₀)² = r², де (x₀, y₀) - координати центра кола, r - радіус кола.

   Рівняння кола: (x - 6)² + (y - 2)² = 5²

   Тепер ми можемо підставити це рівняння у рівняння прямих, щоб знайти точки перетину:

   Для прямої 1: 4x + 3y - 18 = 0 Для прямої 2: 3x - 4y - 1 = 0

   Підставимо (x - 6)² + (y - 2)² = 25 у ці рівняння і розв'яжемо їх для x і y:

   Для прямої 1: 4x + 3y - 18 = 25 4x + 3y = 25 + 18 4x + 3y = 43

   Для прямої 2: 3x - 4y - 1 = 25 3x - 4y = 25 + 1 3x - 4y = 26

   Тепер ми маємо систему лінійних рівнянь:

   4x + 3y = 43 3x - 4y = 26

   Можемо розв'язати цю систему для знаходження точок перетину (x, y).

   Перше рівняння помножимо на 3, а друге на 4, щоб позбутися змінної y:

   12x + 9y = 129 12x - 16y = 104

   Проведемо віднімання першого рівняння від другого:

   (12x + 9y) - (12x - 16y) = 129 - 104 12x + 9y - 12x + 16y = 25 25y = 25 y = 25 / 25 y = 1

   Тепер підставимо y = 1 в одне з початкових рівнянь, наприклад, у рівняння прямої 1:

   4x + 3(1) = 43 4x + 3 = 43 4x = 43 - 3 4x = 40 x = 40 / 4 x = 10

   Отже, ми знайшли дві точки перетину кола і прямих: (x, y) = (10, 1) і (x, y) = (6, 7).