Question

На математическом конкурсе ученикам было дано задание изготовить коробочку, высота которой равна 3 см, а периметр основания равен 48 см. Победит та команда, у которой объём коробочки будет наибольшим. Какими должны быть размеры коробочки, чтобы команда победила? Каким должен быть наибольший объём коробочки?

Answer 1

Ответ:

1) размеры коробочки должны быть 12 см х 12 см х 3 см; 2) наибольший объём коробочки 432 см³.

Объяснение:

Очевидно, что при одном и том же периметре основания 48 см максимальная площадь будет у квадрата со стороной 48 : 4 = 12 см, т.к., уменьшая одну из сторон квадрата на величину х и добавляя эту же величину х к другой стороне, мы будем получать меньшую площадь:

(12 - х ) (12 + х) = 12² - х² (разность квадратов двух чисел), то есть от площади 144 см² будем отнимать х². Например, при х = 2 см, стороны соответственно будут равны 10 см и 14 см, а площадь 140 см², что 2² меньше площади квадрата.

Таким образом, чтобы команда победила, размеры коробочки должны быть: 12 см х 12 см х 3 см.

Из этого следует, что наибольший объём коробочки равен:

12 · 12 · 3 = 432 см³

Ответ: 1) размеры коробочки должны быть 12 см х 12 см х 3 см; 2) наибольший объём коробочки 432 см³.

Answer 2

Давай раскрутимся в математических танцах! Для максимизации объема коробочки, основание должно быть квадратом, так как у квадрата максимальная площадь при заданном периметре.

Периметр квадрата (P) равен 4 * сторона (a), а высота (h) коробочки равна 3 см. У нас есть периметр (48 см), который мы можем использовать для нахождения стороны квадрата:

$P = 4a$ $48 = 4a$ $a = 12$

Теперь, чтобы найти объем коробочки (V), умножим площадь основания на высоту:

$V = a^2 \cdot h$ $V = 12^2 \cdot 3$ $V = 144 \cdot 3$ $V = 432 \, \text{см}^3$

Таким образом, команда победит, если изготовит коробочку с основанием в виде квадрата со стороной 12 см и высотой 3 см. Максимальный объем составит 432 кубических сантиметра. Не плохо, правда?