Question

Точка касания окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, делит гипотенузу на отрезки 12 см и 18 см. Найти катеты прямоугольника и периметр, если радиус вписанной окружности равен 6 см. Помогите пожалуйста!!​

Answer 1

Я опробовала много способов решения задачи — зная радиус, но в конце концов сделала вывод, что он нам совсем не нужен.

Нам достаточно знать всего лишь отрезки, полученные делением точки касания на гипотенузе.

Теорема о касательных такова: 2 касательные, проведённые с одной точки, в точках касания — равны друг другу.

То есть: BE == BD = 12 (так как оба отрезка проведены с общей точки B).

И ещё: FC == DC = 18 (то же определение).

И также: KE == KF (оба проведены с одной точки (K)).

По теореме Пифагора, гипотенуза равна: $\displaystyle\\BC = \sqrt{KC^2+BK^2}\\BC = \sqrt{(BE+EK)^2+(KF+FC)^2}\\FC = 18; BE = 12; KE == KF = x \Rightarrow\\\\BC = \sqrt{(12+x)^2+(18+x)^2}\\(12+x)^2 = 144+24x+x^2\\(18+x)^2 = 324+36x+x^2\\BC = \sqrt{144+24x+x^2+324+36x+x^2}\\BC = \sqrt{468+60x+2x^2}\\\\BC = 12+18 = 30 \Rightarrow\\\\30 = \sqrt{468+60x+2x^2}\\30^2 = 468+60x+2x^2\\900 = 468+60x+2x^2\\432 = 60x+2x^2\\60x+2x^2-432 = 0.$

Найдём Дискриминант:

$\displaystyle\\D = b^2-4ac\\b = 60; a = 2; c = -432\\\\D = 60^2-4*2*(-432)\\D = 3600+3456\\D = 7056\\\\x_1 = \frac{-b+\sqrt{D}}{2a}\\x_2 = \frac{-b-\sqrt{D}}{2a}\\\\x_1 = \frac{-60+\sqrt{7056}}{2*2}\\\\x_1 = \frac{24}{4} \Rightarrow x_1 = 6\\\\\\x_2 = \frac{-60-\sqrt{7056}}{2*2}\\\\x_2 = \frac{-144}{4} \Rightarrow x_2= -36.$

Следовательно:

$\displaystyle\\x = 6 => KC = 6+18 = 24 cm;\\BK = 6+12 = 18 cm$

Следовательно:

$P = BK+BC+KC\\P = 18+30+24\\P = 72 cm.$

$\displaystyle\\ x = 6 => KC = 6+18 = 24 cm;\\BK = 6+12 = 18 cm.$

Вывод: KC = 24см; BK = 18см; P = 72см.

Answer 2

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться свойствами вписанных окружностей в прямоугольные треугольники. Когда окружность вписана в прямоугольный треугольник, точка касания окружности с гипотенузой делит эту гипотенузу на две отрезка, длины которых равны радиусу окружности, а именно 6 см в данном случае. Таким образом, один из отрезков на гипотенузе равен 6 см, а другой также равен 6 см.

Давайте обозначим катеты треугольника как a и b, где a - это катет, который смежен с отрезком длиной 6 см, и b - это катет, который смежен с отрезком длиной 18 см.

Теперь у нас есть два уравнения:

1. a = 6 см (по определению вписанной окружности).
2. b = 18 см (по условию задачи).

Чтобы найти периметр прямоугольного треугольника, нам нужно также знать длину гипотенузы. Мы можем использовать теорему Пифагора для этого:

гипотенуза^2 = a^2 + b^2

гипотенуза^2 = 6^2 + 18^2 гипотенуза^2 = 36 + 324 гипотенуза^2 = 360

Теперь найдем длину гипотенузы:

гипотенуза = √360 гипотенуза = 6√10 см

Теперь мы знаем длины катетов (a и b) и длину гипотенузы. Для нахождения периметра треугольника, просто сложим все его стороны:

Периметр = a + b + гипотенуза Периметр = 6 см + 18 см + 6√10 см

Периметр = 24 см + 6√10 см

Итак, периметр прямоугольного треугольника равен 24 см + 6√10 см.

Answer 3

Для решения этой задачи, мы можем воспользоваться свойствами прямоугольных треугольников, вписанных окружностей и радиуса вписанной окружности. Первым шагом будет найти катеты прямоугольного треугольника, а затем периметр треугольника.

Пусть $AB$ - гипотенуза прямоугольного треугольника, $AC$ и $BC$ - катеты, $O$ - центр вписанной окружности. Также пусть $r$ - радиус вписанной окружности, равный 6 см. Тогда по свойству вписанных углов, точка касания окружности с гипотенузой делит её пополам, и мы имеем:

$AC = 12 \, \text{см}$ $BC = 18 \, \text{см}$

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора, чтобы найти длину гипотенузы $AB$:

$AB^2 = AC^2 + BC^2$ $AB^2 = 12^2 + 18^2$ $AB^2 = 144 + 324$ $AB^2 = 468$

Теперь найдем длину гипотенузы $AB$:

$AB = \sqrt{468}$ $AB = 6\sqrt{13}$

Теперь у нас есть длины катетов и гипотенузы. Для нахождения периметра прямоугольного треугольника $P$ мы просто сложим длины всех его сторон:

$P = AC + BC + AB$ $P = 12 + 18 + 6\sqrt{13} \, \text{см}$ $P = 30 + 6\sqrt{13} \, \text{см}$

Таким образом, периметр прямоугольного треугольника равен $30 + 6\sqrt{13}$ см, а длины катетов $AC$ и $BC$ равны 12 см и 18 см соответственно.