Question

К окружности с центром О проведена касательная АМ и АТ (т. М и Т - точки касания), отрезки АО и МТ пересекаются в точке С Найдите длину АС, если АМ=10, МТ=12ДАЮ 60 БАЛЛОВОЧЕНЬ СРОЧНО

Answer 1

Ответ:

8

Объяснение:

1)Т.к. АО проходит через центр окружности, АМ и АТ  - отрезки касательных, то ∠МАО=∠ОАТ

2)В ΔМАТ: т.к. АМ=АТ, значит, ΔМАТ-равнобедренный, в нем АС-биссектриса и высота, значит АС⊥МС⇒ΔАМС - прямоугольный

3)МС=1/2*МТ=6

4)По теореме Пифагора найдем АС=√(АМ²-МС²)=√(100-36)=8

Answer 2

Давайте рассмотрим треугольник $АМО$ и используем теорему о касательных к окружности:

1. Так как $АМ$ и $АТ$ - касательные, то угол $МАТ$ прямой (поскольку он опирается на диаметр).
2. Теперь мы имеем прямоугольный треугольник $АМО$ с гипотенузой $АМ$ и катетами $АО$ и $МО$.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора:

$АО^2 + МО^2 = АМ^2.$

Мы знаем, что $АМ = 10$ и $МТ = 12$. Так как $МТ$ - касательная, то угол $АМТ$ также прямой. Тогда треугольник $АМТ$ также прямоугольный.

$АМ^2 + МТ^2 = АТ^2.$

Мы хотим найти $АО$, поэтому давайте выразим $АО$ из первого уравнения:

$АО = \sqrt{АМ^2 - МО^2}.$

Теперь подставим известные значения:

$АО = \sqrt{10^2 - МО^2}.$

Мы также знаем, что $МО = МТ - АТ$, поэтому:

$МО = 12 - АТ.$

Теперь мы можем записать уравнение для $АО$ в терминах $АТ$:

$АО = \sqrt{10^2 - (12 - АТ)^2}.$

Теперь находим $АТ$, решив уравнение:

$10^2 - (12 - АТ)^2 = АТ^2.$

Решение этого уравнения даст нам значение $АТ$. После этого мы можем найти $МО$ и, наконец, подставить в выражение для $АО$.